微积分学示例

$8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$

解题步骤 1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x {(x^{2} + 9)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$ 。

$8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 9)}^{3}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 9)}^{3}$ 。

$8 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{3}] + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} + 9$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 9$ 。

$8 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x^{2} + 9$ 替换所有出现的 $u$ 。

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x^{2} + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [9])) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$8 (x (3 {(x^{2} + 9)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$8 (x (6 {(x^{2} + 9)}^{2} x) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (x^{1} x (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$8 (x^{1} x^{1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 10

将 ${(x^{2} + 9)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2}) + {(x^{2} + 9)}^{3})$

解题步骤 11

化简。

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解题步骤 11.1

运用分配律。

$8 (x^{2} (6 {(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

解题步骤 11.2

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$48 (x^{2} ({(x^{2} + 9)}^{2})) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

解题步骤 11.3

从 $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2} + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ 。

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解题步骤 11.3.1

从 $48 x^{2} {(x^{2} + 9)}^{2}$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ 。

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{3}$

解题步骤 11.3.2

从 $8 {(x^{2} + 9)}^{3}$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ 。

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$

解题步骤 11.3.3

从 $8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} + 9)}^{2} (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} + 9)}^{2}$ 。

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} + 9)$

解题步骤 11.4

将 $6 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$8 {(x^{2} + 9)}^{2} (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.5

将 ${(x^{2} + 9)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ 。

$8 ((x^{2} + 9) (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.6

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 9) (x^{2} + 9)$ 。

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解题步骤 11.6.1

运用分配律。

$8 (x^{2} (x^{2} + 9) + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.6.2

运用分配律。

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 (x^{2} + 9)) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.6.3

运用分配律。

$8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.7.1

化简每一项。

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解题步骤 11.7.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.7.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.7.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$8 (x^{4} + x^{2} \cdot 9 + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.7.1.2

将 $9$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$8 (x^{4} + 9 \cdot x^{2} + 9 x^{2} + 9 \cdot 9) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.7.1.3

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$8 (x^{4} + 9 x^{2} + 9 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.7.2

将 $9 x^{2}$ 和 $9 x^{2}$ 相加。

$8 (x^{4} + 18 x^{2} + 81) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.8

运用分配律。

$(8 x^{4} + 8 (18 x^{2}) + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.9

化简。

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解题步骤 11.9.1

将 $18$ 乘以 $8$ 。

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 8 \cdot 81) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.9.2

将 $8$ 乘以 $81$ 。

$(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$

解题步骤 11.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(8 x^{4} + 144 x^{2} + 648) (7 x^{2} + 9)$ 。

$8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11

化简每一项。

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解题步骤 11.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$8 \cdot 7 x^{4} x^{2} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.11.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$8 \cdot 7 (x^{2} x^{4}) + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$8 \cdot 7 x^{2 + 4} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.2.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$8 \cdot 7 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.3

将 $8$ 乘以 $7$ 。

$56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot 9 + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.4

将 $9$ 乘以 $8$ 。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 x^{2} (7 x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2} x^{2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 11.11.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 (x^{2} x^{2}) + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{2 + 2} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.6.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 144 \cdot 7 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.7

将 $144$ 乘以 $7$ 。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 144 x^{2} \cdot 9 + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.8

将 $9$ 乘以 $144$ 。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 648 (7 x^{2}) + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.9

将 $7$ 乘以 $648$ 。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 648 \cdot 9$

解题步骤 11.11.10

将 $648$ 乘以 $9$ 。

$56 x^{6} + 72 x^{4} + 1008 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

解题步骤 11.12

将 $72 x^{4}$ 和 $1008 x^{4}$ 相加。

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 1296 x^{2} + 4536 x^{2} + 5832$

解题步骤 11.13

将 $1296 x^{2}$ 和 $4536 x^{2}$ 相加。

$56 x^{6} + 1080 x^{4} + 5832 x^{2} + 5832$

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