微积分学示例

$x {(6 - 2 x)}^{2}$

解题步骤 1

将 ${(6 - 2 x)}^{2}$ 重写为 $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ 。

$\frac{d}{d x} [x ((6 - 2 x) (6 - 2 x))]$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(6 - 2 x) (6 - 2 x)$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (6 (6 - 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x (6 - 2 x))]$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (6 \cdot 6 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d}{d x} [x (36 + 6 (- 2 x) - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

解题步骤 3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 2 x \cdot 6 - 2 x (- 2 x))]$

解题步骤 3.1.3

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 x (- 2 x))]$

解题步骤 3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x)]$

解题步骤 3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.5.1

移动 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x))]$

解题步骤 3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x - 2 \cdot - 2 x^{2})]$

解题步骤 3.1.6

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 12 x - 12 x + 4 x^{2})]$

解题步骤 3.2

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (36 - 24 x + 4 x^{2})]$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 36 - 24 x + 4 x^{2}$ 。

$x \frac{d}{d x} [36 - 24 x + 4 x^{2}] + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

根据加法法则， $36 - 24 x + 4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.2

因为 $36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $36$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ 相加。

$x (\frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.4

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (- 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.6

将 $- 24$ 乘以 $1$ 。

$x (- 24 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.7

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x (- 24 + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (- 24 + 4 (2 x)) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.9

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 5.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (- 24 + 8 x) + (36 - 24 x + 4 x^{2}) \cdot 1$

解题步骤 5.11

将 $36 - 24 x + 4 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x (- 24 + 8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$x \cdot - 24 + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

解题步骤 6.2

合并项。

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解题步骤 6.2.1

将 $- 24$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 24 \cdot x + x (8 x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

解题步骤 6.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 24 x + 8 (x^{1} x) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

解题步骤 6.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 24 x + 8 (x^{1} x^{1}) + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

解题步骤 6.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 24 x + 8 x^{1 + 1} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

解题步骤 6.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 24 x + 8 x^{2} + 36 - 24 x + 4 x^{2}$

解题步骤 6.2.6

从 $- 24 x$ 中减去 $24 x$ 。

$- 48 x + 8 x^{2} + 36 + 4 x^{2}$

解题步骤 6.2.7

将 $8 x^{2}$ 和 $4 x^{2}$ 相加。

$- 48 x + 12 x^{2} + 36$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$12 x^{2} - 48 x + 36$

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