微积分学示例

$\sin (x) \cot (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cot (x)$ 。

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 2

$\cot (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc^{2} (x)$ 。

$\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

解题步骤 3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (x)$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序项。

$- \csc^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

将 $\csc (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2.2

对 $\frac{1}{\sin (x)}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2.3

约去 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2.3.2

从 $\sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2.3.3

约去公因数。

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2.3.4

重写表达式。

$\frac{- 1^{2}}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2.6

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cot (x)$

解题步骤 4.2.7

将 $\cot (x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$- \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.8

乘以 $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

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解题步骤 4.2.8.1

组合 $\cos (x)$ 和 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ 。

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.8.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.8.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

解题步骤 4.2.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.5

从 $\cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 4.6

从 $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 4.7

将 $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ 重写为 $- (1 - \cos^{2} (x))$ 。

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 4.8

使用勾股恒等式。

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

解题步骤 4.9

约去 $\sin^{2} (x)$ 和 $\sin (x)$ 的公因数。

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解题步骤 4.9.1

从 $- \sin^{2} (x)$ 中分解出因数 $\sin (x)$ 。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

解题步骤 4.9.2

约去公因数。

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解题步骤 4.9.2.1

乘以 $1$ 。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

解题步骤 4.9.2.2

约去公因数。

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

解题步骤 4.9.2.3

重写表达式。

$\frac{- \sin (x)}{1}$

解题步骤 4.9.2.4

用 $- \sin (x)$ 除以 $1$ 。

$- \sin (x)$

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