微积分学示例

$y = - \frac{x^{2}}{16} + \frac{2}{x} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x}{3}$

解题步骤 1

根据加法法则， $- \frac{x^{2}}{16} + \frac{2}{x} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{3 x^{2}} + \frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{16}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $- \frac{1}{16}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{x^{2}}{16}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{1}{16} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{1}{16} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (\frac{1}{16}) x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{16}$ 。

$\frac{- 2}{16} x + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.5

组合 $\frac{- 2}{16}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.6

约去 $- 2$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{16} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 (8)} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 \cdot 8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 2.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x}{8} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$- \frac{x}{8} + 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{x}{8} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{x}{8} + 2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 4

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 4.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 4.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{2}}]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.5

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.9

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{3} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.10

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{3} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.11

组合 $\frac{- 2}{3}$ 和 $x^{- 3}$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2 x^{- 3}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.12

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 3}$ 移动到分母。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 5.13

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

解题步骤 6

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$ 。

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解题步骤 6.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} \cdot 1$

解题步骤 6.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{x}{8} - 2 x^{- 2} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{x}{8} - 2 \frac{1}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

解题步骤 7.2

合并项。

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解题步骤 7.2.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$- \frac{x}{8} + \frac{- 2}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

解题步骤 7.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x}{8} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3}$

解题步骤 7.3

重新排序项。

$- \frac{x}{8} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{2}{3 x^{3}} + \frac{1}{3} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

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