微积分学示例

$y = \frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{5}{{(2 x)}^{3}} + 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 x)}^{3}}]$ 。

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解题步骤 2.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{{(2 (x))}^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.2

对 $2 (x)$ 运用乘积法则。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{2^{3} x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{d}{d x} [\frac{5}{8 x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.4

因为 $\frac{5}{8}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{5}{8 x^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ 。

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.5

将 $\frac{1}{x^{3}}$ 重写为 ${(x^{3})}^{- 1}$ 。

$\frac{5}{8} \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3}$ 。

$\frac{5}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{5}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.6.3

使用 $x^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{5}{8} (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.8

将 ${(x^{3})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{5}{8} (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.8.2

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{5}{8} (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.9

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.10

通过指数相加将 $x^{- 6}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{5}{8} (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.10.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{5}{8} (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.10.3

从 $2$ 中减去 $6$ 。

$\frac{5}{8} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.11

组合 $- 3$ 和 $\frac{5}{8}$ 。

$\frac{- 3 \cdot 5}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.12

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 15}{8} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.13

组合 $\frac{- 15}{8}$ 和 $x^{- 4}$ 。

$\frac{- 15 x^{- 4}}{8} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{- 15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 2.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{15}{8 x^{4}} + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \frac{15}{8 x^{4}} + 2 (- \sin (x))$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{15}{8 x^{4}} - 2 \sin (x)$

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