微积分学示例

${(\frac{x + 5}{x^{2} + 2})}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \frac{x + 5}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

解题步骤 2

组合 $2$ 和 $\frac{x + 5}{x^{2} + 2}$ 。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 5}{x^{2} + 2}]$

解题步骤 3

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 5$ 且 $g (x) = x^{2} + 2$ 。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \frac{d}{d x} [x + 5] - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + \frac{d}{d x} [5]) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.3

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) (1 + 0) - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{(x^{2} + 2) \cdot 1 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.4.2

将 $x^{2} + 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2]}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.5

根据加法法则， $x^{2} + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + \frac{d}{d x} [2])}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.8

合并分数。

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解题步骤 4.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - (x + 5) (2 x)}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2} \cdot \frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 4.8.3

将 $\frac{2 (x + 5)}{x^{2} + 2}$ 乘以 $\frac{x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x}{{(x^{2} + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 5

通过指数相加将 $x^{2} + 2$ 乘以 ${(x^{2} + 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x^{2} + 2$ 乘以 ${(x^{2} + 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $x^{2} + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1} {(x^{2} + 2)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{1 + 2}}$

解题步骤 5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (x + 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 (x + 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 + (- 2 x - 2 \cdot 5) x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot 5) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4

化简分子。

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解题步骤 6.4.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x \cdot x - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.2

化简每一项。

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解题步骤 6.4.2.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.4.2.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 (x \cdot x) - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.2.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 2 \cdot 5 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.2.2

将 $- 2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{(2 x + 10) (x^{2} + 2 - 2 x^{2} - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.3

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2 x + 10) (- x^{2} + 2 - 10 x)$ 。

$\frac{2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5

化简每一项。

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解题步骤 6.4.5.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.4.5.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.4.5.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 x^{3} + 2 x \cdot 2 + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.4

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 x (- 10 x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x \cdot x + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.4.5.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 (x \cdot x) + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x + 2 \cdot - 10 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.7

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} + 10 (- x^{2}) + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.8

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 10 \cdot 2 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.9

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 + 10 (- 10 x)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.5.10

将 $- 10$ 乘以 $10$ 。

$\frac{- 2 x^{3} + 4 x - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 100 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.6

从 $4 x$ 中减去 $100 x$ 。

$\frac{- 2 x^{3} - 20 x^{2} - 10 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.4.7

从 $- 20 x^{2}$ 中减去 $10 x^{2}$ 。

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} + 20 - 96 x}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.5

重新排序项。

$\frac{- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.6

从 $- 2 x^{3} - 30 x^{2} - 96 x + 20$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.6.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{3}) - 30 x^{2} - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.6.2

从 $- 30 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) - 96 x + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.6.3

从 $- 96 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 20}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.6.4

从 $20$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.6.5

从 $2 (- x^{3}) + 2 (- 15 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.6.6

从 $2 (- x^{3} - 15 x^{2}) + 2 (- 48 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.6.7

从 $2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x) + 2 (10)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x^{3} - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.7

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x^{3}) - 15 x^{2} - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.8

从 $- 15 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x^{3}) - (15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.9

从 $- (x^{3}) - (15 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - 48 x + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.10

从 $- 48 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.11

从 $- (x^{3} + 15 x^{2}) - (48 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) + 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.12

将 $10$ 重写为 $- 1 (- 10)$ 。

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.13

从 $- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x) - 1 (- 10)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{2 (- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.14

将 $- (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ 重写为 $- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)$ 。

$\frac{2 (- 1 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10))}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

解题步骤 6.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2 (x^{3} + 15 x^{2} + 48 x - 10)}{{(x^{2} + 2)}^{3}}$

微积分学 示例

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