微积分学示例

$y = \ln ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{1}}$ 。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = x^{4} + 5 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x^{4} + 5 x^{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {u_{2}}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{4} + 5 x^{2}$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

解题步骤 3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

解题步骤 4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

解题步骤 6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3}{2} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

解题步骤 7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}])$

解题步骤 8

将 $\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{1}{{(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{3 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

解题步骤 9

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

解题步骤 10

化简分母。

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解题步骤 10.1

通过指数相加将 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ 乘以 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 10.1.1

移动 ${(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{3}{2 ({(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

解题步骤 10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

解题步骤 10.1.3

在公分母上合并分子。

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

解题步骤 10.1.4

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

解题步骤 10.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$\frac{3}{2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

解题步骤 10.2

化简 $2 {(x^{4} + 5 x^{2})}^{1}$ 。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} \frac{d}{d x} [x^{4} + 5 x^{2}]$

解题步骤 11

根据加法法则， $x^{4} + 5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ 。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])$

解题步骤 13

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 5 (2 x))$

解题步骤 15

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{3}{2 (x^{4} + 5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

解题步骤 16

化简。

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解题步骤 16.1

运用分配律。

$\frac{3}{2 x^{4} + 2 (5 x^{2})} (4 x^{3} + 10 x)$

解题步骤 16.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$

解题步骤 16.3

重新排序 $\frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}} (4 x^{3} + 10 x)$ 的因式。

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{4} + 10 x^{2}}$

解题步骤 16.4

从 $2 x^{4} + 10 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

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解题步骤 16.4.1

从 $2 x^{4}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 10 x^{2}}$

解题步骤 16.4.2

从 $10 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)}$

解题步骤 16.4.3

从 $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (5)$ 中分解出因数 $2 x^{2}$ 。

$(4 x^{3} + 10 x) \frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

解题步骤 16.5

将 $4 x^{3} + 10 x$ 乘以 $\frac{3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$ 。

$\frac{(4 x^{3} + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

解题步骤 16.6

化简分子。

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解题步骤 16.6.1

从 $4 x^{3} + 10 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 16.6.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 10 x) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

解题步骤 16.6.1.2

从 $10 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{(2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

解题步骤 16.6.1.3

从 $2 x (2 x^{2}) + 2 x (5)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$\frac{2 x (2 x^{2} + 5) \cdot 3}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

解题步骤 16.6.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x (2 x^{2} + 5)}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

解题步骤 16.7

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.7.1

从 $6 x (2 x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 x^{2} (x^{2} + 5)}$

解题步骤 16.7.2

约去公因数。

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解题步骤 16.7.2.1

从 $2 x^{2} (x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

解题步骤 16.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (3 x (2 x^{2} + 5))}{2 (x^{2} (x^{2} + 5))}$

解题步骤 16.7.2.3

重写表达式。

$\frac{3 x (2 x^{2} + 5)}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

解题步骤 16.8

约去 $x$ 和 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 16.8.1

从 $3 x (2 x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x^{2} (x^{2} + 5)}$

解题步骤 16.8.2

约去公因数。

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解题步骤 16.8.2.1

从 $x^{2} (x^{2} + 5)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

解题步骤 16.8.2.2

约去公因数。

$\frac{x (3 (2 x^{2} + 5))}{x (x (x^{2} + 5))}$

解题步骤 16.8.2.3

重写表达式。

$\frac{3 (2 x^{2} + 5)}{x (x^{2} + 5)}$

微积分学 示例

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