微积分学示例

$y = \ln (\frac{x}{1 + x^{2}})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{1 + x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{x}{1 + x^{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{\frac{x}{1 + x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

解题步骤 2

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{x}{1 + x^{2}}$ 。

$1 \frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

解题步骤 3

将 $\frac{1 + x^{2}}{x}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + x^{2}}]$

解题步骤 4

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 + x^{2}$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

求微分。

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解题步骤 5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{(1 + x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $1 + x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

根据加法法则， $1 + x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ 相加。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - x (2 x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x \cdot x}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x)}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{1 + 1}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 9

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 + x^{2} - 2 x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 10

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$\frac{1 + x^{2}}{x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 11

将 $\frac{1 + x^{2}}{x}$ 乘以 $\frac{1 - x^{2}}{{(1 + x^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{x {(1 + x^{2})}^{2}}$

解题步骤 12

约去公因数。

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解题步骤 12.1

从 $x {(1 + x^{2})}^{2}$ 中分解出因数 $1 + x^{2}$ 。

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

解题步骤 12.2

约去公因数。

$\frac{(1 + x^{2}) (1 - x^{2})}{(1 + x^{2}) (x (1 + x^{2}))}$

解题步骤 12.3

重写表达式。

$\frac{1 - x^{2}}{x (1 + x^{2})}$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$\frac{1 - x^{2}}{x \cdot 1 + x \cdot x^{2}}$

解题步骤 13.2

合并项。

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解题步骤 13.2.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 - x^{2}}{x + x \cdot x^{2}}$

解题步骤 13.2.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 13.2.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 13.2.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1} x^{2}}$

解题步骤 13.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{1 + 2}}$

解题步骤 13.2.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1 - x^{2}}{x + x^{3}}$

解题步骤 13.3

重新排序项。

$\frac{- x^{2} + 1}{x^{3} + x}$

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