微积分学示例

$y = 2 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$2 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

解题步骤 9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$2 (- \sin^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x)$

解题步骤 13.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

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