微积分学示例

$\frac{s}{1 + s^{2}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [\frac{f (s)}{g (s)}]$ 等于 $\frac{g (s) \frac{d}{d s} [f (s)] - f (s) \frac{d}{d s} [g (s)]}{{g (s)}^{2}}$ ，其中 $f (s) = s$ 且 $g (s) = 1 + s^{2}$ 。

$\frac{(1 + s^{2}) \frac{d}{d s} [s] - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 等于 $n s^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + s^{2}) \cdot 1 - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 $1 + s^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [1 + s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

根据加法法则， $1 + s^{2}$ 对 $s$ 的导数是 $\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}]$ 。

$\frac{1 + s^{2} - s (\frac{d}{d s} [1] + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

因为 $1$ 对于 $s$ 是常数，所以 $1$ 对 $s$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 + s^{2} - s (0 + \frac{d}{d s} [s^{2}])}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d s} [s^{2}]$ 相加。

$\frac{1 + s^{2} - s \frac{d}{d s} [s^{2}]}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ 等于 $n s^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1 + s^{2} - s (2 s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + s^{2} - 2 s \cdot s}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

对 $s$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s)}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

对 $s$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + s^{2} - 2 (s^{1} s^{1})}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{1 + 1}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + s^{2} - 2 s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 7

从 $s^{2}$ 中减去 $2 s^{2}$ 。

$\frac{1 - s^{2}}{{(1 + s^{2})}^{2}}$

解题步骤 8

重新排序项。

$\frac{- s^{2} + 1}{{(s^{2} + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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