微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 1$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 1$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 1.2.8.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - (x^{2} - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 (x^{2} - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) + (- 2 x^{2} - 2 \cdot - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (1 x) - 2 x^{2} x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

化简分子。

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解题步骤 1.3.5.1

合并 $2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x - 2 x^{2} x - 2 \cdot - 1 x$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.5.1.1

从 $2 x^{2} x$ 中减去 $2 x^{2} x$ 。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) + 0 - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.1.2

将 $2 \cdot 1 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 \cdot (1 x) - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.2

化简每一项。

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解题步骤 1.3.5.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x - 2 \cdot (- 1 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.2.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 x + 2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5.3

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$f' (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}})$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}})$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.3.3

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.5.2

从 ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.5.2.2

从 $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.5.2.3

从 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.15

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.16

组合 $4$ 和 $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17

化简。

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解题步骤 2.17.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17.2

化简每一项。

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解题步骤 2.17.2.1

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17.3

从 $- 12 x^{2} + 4$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 2.17.3.1

从 $- 12 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2}) + 4}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17.3.3

从 $4 (- 3 x^{2}) + 4 (1)$ 中分解出因数 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17.4

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17.5

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17.6

从 $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17.7

将 $- (3 x^{2} - 1)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} - 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.17.8

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}]$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{3 x^{2} - 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 3 x^{2} - 1$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{2} - 1) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}}$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{2} - 1) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (3 x^{2} - 1) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $3 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.3.3

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x + 0) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.3.7.1

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = - 4 \frac{{(x^{2} + 1)}^{3} (6 x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.3.7.2

将 $6$ 移到 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 的左侧。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{3} x) - (3 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - (3 x^{2} - 1) (3 {(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.5.2

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.5.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.5.5

合并分数。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.5.5.2

化简表达式。

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解题步骤 3.5.5.2.1

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 的左侧。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 3 (3 x^{2} - 1) (2 \cdot ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.5.5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f''' (x) = - 4 \frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.5.5.3

组合 $- 4$ 和 $\frac{6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$ 。

$f''' (x) = \frac{- 4 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.5.5.4

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{(4) (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x - 6 (3 x^{2} - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x + (- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 {(x^{2} + 1)}^{3} x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3

化简分子。

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解题步骤 3.6.3.1

使用二项式定理。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 ({(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.6.3.2.1

将 ${(x^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.3.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.2.1.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.2.2

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.6.3.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{2 \cdot 2} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{4} \cdot 1 + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.2.4

一的任意次幂都为一。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} \cdot 1 + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.2.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1^{3}) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.2.6

一的任意次幂都为一。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.3

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{4 ((6 x^{6} + 6 (3 x^{4}) + 6 (3 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.4

化简。

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解题步骤 3.6.3.4.1

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 6 (3 x^{2}) + 6 \cdot 1) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.4.2

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 18 x^{2} + 6 \cdot 1) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.4.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 ((6 x^{6} + 18 x^{4} + 18 x^{2} + 6) x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.5

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{6} x + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6

化简。

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解题步骤 3.6.3.6.1

通过指数相加将 $x^{6}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.6.1.1

移动 $x$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x \cdot x^{6}) + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{6}$ 。

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解题步骤 3.6.3.6.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 (x \cdot x^{6}) + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{1 + 6} + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.1.3

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{4} x + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.6.2.1

移动 $x$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 (x \cdot x^{4}) + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 3.6.3.6.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 (x \cdot x^{4}) + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{1 + 4} + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.2.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{2} x + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.6.3.1

移动 $x$ 。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.3.6.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{1 + 2} + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.6.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7} + 18 x^{5} + 18 x^{3} + 6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.7

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{4 (6 x^{7}) + 4 (18 x^{5}) + 4 (18 x^{3}) + 4 (6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.8

化简。

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解题步骤 3.6.3.8.1

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 4 (18 x^{5}) + 4 (18 x^{3}) + 4 (6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.8.2

将 $18$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 4 (18 x^{3}) + 4 (6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.8.3

将 $18$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 4 (6 x) + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.8.4

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 6 (3 x^{2}) - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.9

化简每一项。

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解题步骤 3.6.3.9.1

将 $3$ 乘以 $- 6$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} - 6 \cdot - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.9.2

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ({(x^{2} + 1)}^{2} x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.10

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.11

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 3.6.3.11.1

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.11.2

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.11.3

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.6.3.12.1

化简每一项。

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解题步骤 3.6.3.12.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.3.12.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.12.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.12.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.12.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1 \cdot 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.12.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + x^{2} + x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.12.2

将 $x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) ((x^{4} + 2 x^{2} + 1) x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.13

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4} x + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.14

化简。

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解题步骤 3.6.3.14.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.14.1.1

将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.14.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4} x + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.14.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{4 + 1} + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.14.1.2

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{2} x + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.14.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.14.2.1

移动 $x$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 (x \cdot x^{2}) + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.14.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.3.14.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 (x \cdot x^{2}) + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.14.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{1 + 2} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.14.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + 1 x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.14.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 ((- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + x))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.15

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- 18 x^{2} + 6) (x^{5} + 2 x^{3} + x)$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{2} x^{5} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16

化简每一项。

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解题步骤 3.6.3.16.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{5}$ 。

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解题步骤 3.6.3.16.1.1

移动 $x^{5}$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 (x^{5} x^{2}) - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{5 + 2} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.1.3

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 18 x^{2} (2 x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.2

使用乘法的交换性质重写。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 18 \cdot (2 x^{2} x^{3}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 3.6.3.16.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 18 \cdot (2 (x^{3} x^{2})) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 18 \cdot (2 x^{3 + 2}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.3.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 18 \cdot (2 x^{5}) - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.4

将 $- 18$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{2} x + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.6.3.16.5.1

移动 $x$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.6.3.16.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 (x \cdot x^{2}) + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{1 + 2} + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{3} + 6 x^{5} + 6 (2 x^{3}) + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.16.6

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 36 x^{5} - 18 x^{3} + 6 x^{5} + 12 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.17

将 $- 36 x^{5}$ 和 $6 x^{5}$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 30 x^{5} - 18 x^{3} + 12 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.18

将 $- 18 x^{3}$ 和 $12 x^{3}$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7} - 30 x^{5} - 6 x^{3} + 6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.19

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x + 4 (- 18 x^{7}) + 4 (- 30 x^{5}) + 4 (- 6 x^{3}) + 4 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.20

化简。

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解题步骤 3.6.3.20.1

将 $- 18$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 72 x^{7} + 4 (- 30 x^{5}) + 4 (- 6 x^{3}) + 4 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.20.2

将 $- 30$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 72 x^{7} - 120 x^{5} + 4 (- 6 x^{3}) + 4 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.20.3

将 $- 6$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 72 x^{7} - 120 x^{5} - 24 x^{3} + 4 (6 x)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.20.4

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = - \frac{24 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 72 x^{7} - 120 x^{5} - 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.21

从 $24 x^{7}$ 中减去 $72 x^{7}$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 48 x^{7} + 72 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 120 x^{5} - 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.22

从 $72 x^{5}$ 中减去 $120 x^{5}$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 48 x^{7} - 48 x^{5} + 72 x^{3} + 24 x - 24 x^{3} + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.23

从 $72 x^{3}$ 中减去 $24 x^{3}$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 48 x^{7} - 48 x^{5} + 48 x^{3} + 24 x + 24 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.24

将 $24 x$ 和 $24 x$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{- 48 x^{7} - 48 x^{5} + 48 x^{3} + 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25

以因式分解的形式重写 $- 48 x^{7} - 48 x^{5} + 48 x^{3} + 48 x$ 。

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解题步骤 3.6.3.25.1

从 $- 48 x^{7} - 48 x^{5} + 48 x^{3} + 48 x$ 中分解出因数 $48 x$ 。

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解题步骤 3.6.3.25.1.1

从 $- 48 x^{7}$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6}) - 48 x^{5} + 48 x^{3} + 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.1.2

从 $- 48 x^{5}$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6}) + 48 x (- x^{4}) + 48 x^{3} + 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.1.3

从 $48 x^{3}$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6}) + 48 x (- x^{4}) + 48 x (x^{2}) + 48 x}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.1.4

从 $48 x$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6}) + 48 x (- x^{4}) + 48 x (x^{2}) + 48 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.1.5

从 $48 x (- x^{6}) + 48 x (- x^{4})$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6} - x^{4}) + 48 x (x^{2}) + 48 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.1.6

从 $48 x (- x^{6} - x^{4}) + 48 x (x^{2})$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2}) + 48 x (1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.1.7

从 $48 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2}) + 48 x (1)$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- x^{6} - x^{4} + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.6.3.25.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{6} - x^{4}) + x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f''' (x) = - \frac{48 x (x^{4} (- x^{2} - 1) - 1 (- x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.3

通过因式分解出最大公因数 $- x^{2} - 1$ 来因式分解多项式。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) (x^{4} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.4

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.7

化简。

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解题步骤 3.6.3.25.7.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.7.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- x^{2} - 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.8

合并指数。

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解题步骤 3.6.3.25.8.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- (x^{2}) - 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.8.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x ((- (x^{2}) - 1 \cdot 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.8.3

从 $- (x^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.8.4

将 $- (x^{2} + 1)$ 重写为 $- 1 (x^{2} + 1)$ 。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- 1 (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.8.5

对 $x^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- 1 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.8.6

对 $x^{2} + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- 1 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 1)) (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.8.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- 1 {(x^{2} + 1)}^{1 + 1} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.8.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{48 x (- 1 {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

$f''' (x) = - \frac{48 x \cdot (- 1 {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.25.9

将 $- 1$ 乘以 $48$ 。

$f''' (x) = - \frac{- 48 x {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.4

合并项。

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解题步骤 3.6.4.1

约去 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 和 ${(x^{2} + 1)}^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.4.1.1

从 $- 48 x {(x^{2} + 1)}^{2} (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 48 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{6}}$

解题步骤 3.6.4.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.4.1.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{6}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 48 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.6.4.1.2.2

约去公因数。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} ((- 48 x (x + 1)) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.6.4.1.2.3

重写表达式。

$f''' (x) = - \frac{(- 48 x (x + 1)) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.6.4.2

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = \frac{((48) x (x + 1)) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 3.6.4.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 1 (\frac{48 x (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 3.6.4.4

将 $\frac{48 x (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = \frac{48 x (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{48 x (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $48 \frac{d}{d x} [\frac{(x (x + 1)) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}}]$ 。

$f^{4} (x) = 48 \frac{d}{d x} (\frac{(x (x + 1)) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{4}})$

解题步骤 4.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x + 1) (x - 1)$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{4}$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x + 1) (x - 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{({(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}})$

解题步骤 4.3

将 ${({(x^{2} + 1)}^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x + 1) (x - 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{4 \cdot 2}})$

解题步骤 4.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x + 1) (x - 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x (x + 1)$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.5

求微分。

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解题步骤 4.5.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.5.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.5.4

化简表达式。

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解题步骤 4.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.5.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x (x + 1))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x \frac{d}{d x} (x + 1) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.7

求微分。

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解题步骤 4.7.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x (1 + \frac{d}{d x} (1)) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.7.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.7.4

化简表达式。

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解题步骤 4.7.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x \cdot 1 + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.7.4.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x + (x + 1) \frac{d}{d x} (x))) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.7.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x + (x + 1) \cdot 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.7.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.7.6.1

将 $x + 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (x + x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.7.6.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 1)}^{4}}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 4.8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 1$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.8.3

使用 $x^{2} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - x (x + 1) (x - 1) (4 {(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.9

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.9.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.9.2

从 ${(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.9.2.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{4} (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) - 4 x (x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.9.2.2

从 $- 4 x (x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) + {(x^{2} + 1)}^{3} (- 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.9.2.3

从 ${(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1))) + {(x^{2} + 1)}^{3} (- 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{8}})$

解题步骤 4.10

约去公因数。

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解题步骤 4.10.1

从 ${(x^{2} + 1)}^{8}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.10.2

约去公因数。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{{(x^{2} + 1)}^{3} ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1)))}{{(x^{2} + 1)}^{3} {(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.10.3

重写表达式。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.11

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.13

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.14

化简表达式。

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解题步骤 4.14.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 4 x (x + 1) (x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.14.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x (x + 1) (x - 1) x}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 (x \cdot x) (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 (x \cdot x) (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x^{1 + 1} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}})$

解题步骤 4.19

组合 $48$ 和 $\frac{(x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x^{2} (x + 1) (x - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x (x + 1) + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20

化简。

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解题步骤 4.20.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1)) - 8 x^{2} (x + 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1)) + (- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.3

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x \cdot x + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1))) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4

化简分子。

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解题步骤 4.20.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.20.4.1.1

化简每一项。

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解题步骤 4.20.4.1.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x \cdot 1 + (x - 1) (2 x + 1))) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + (x - 1) (2 x + 1))) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.1.3.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x + 1) - 1 (2 x + 1))) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.3.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x + 1))) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.3.3

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + x (2 x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.20.4.1.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.20.4.1.1.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.4.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.1.4.1.2.1

移动 $x$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 (x \cdot x) + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.4.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x \cdot 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.4.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 1 (2 x) - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.4.1.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 2 x - 1 \cdot 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.4.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} + x - 2 x - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.1.4.2

从 $x$ 中减去 $2 x$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + x + 2 x^{2} - x - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.2

合并 $x^{2} + x + 2 x^{2} - x - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.20.4.1.2.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 2 x^{2} + 0 - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.2.2

将 $x^{2} + 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (x^{2} + 2 x^{2} - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.3

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{48 ((x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 1) (3 x^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.4.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{48 (x^{2} (3 x^{2} - 1) + 1 (3 x^{2} - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.4.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{48 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2} - 1)) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.4.3

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{48 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.20.4.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 4.20.4.1.5.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.5.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.5.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.5.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.5.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 1 + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.5.1.3

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} - 1 \cdot x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.5.1.4

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} - x^{2} + 1 (3 x^{2}) + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.5.1.5

将 $3 x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} - x^{2} + 3 x^{2} + 1 \cdot - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.5.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} - x^{2} + 3 x^{2} - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.5.2

将 $- x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4} + 2 x^{2} - 1) + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.6

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{48 (3 x^{4}) + 48 (2 x^{2}) + 48 \cdot - 1 + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.7

化简。

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解题步骤 4.20.4.1.7.1

将 $3$ 乘以 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 48 (2 x^{2}) + 48 \cdot - 1 + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.7.2

将 $2$ 乘以 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} + 48 \cdot - 1 + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.7.3

将 $48$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.8

化简每一项。

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解题步骤 4.20.4.1.8.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 x^{1 + 2} - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.8.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 x^{3} - 8 x^{2} \cdot 1) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.8.2

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 ((- 8 x^{3} - 8 x^{2}) (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(- 8 x^{3} - 8 x^{2}) (x - 1)$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.9.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{3} (x - 1) - 8 x^{2} (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.9.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{3} x - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} (x - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.9.3

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{3} x - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.20.4.1.10.1

化简每一项。

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解题步骤 4.20.4.1.10.1.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.10.1.1.1

移动 $x$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 (x \cdot x^{3}) - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.10.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 (x \cdot x^{3}) - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{1 + 3} - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.1.1.3

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} - 8 x^{3} \cdot - 1 - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} x - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.10.1.3.1

移动 $x$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.20.4.1.10.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 (x \cdot x^{2}) - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{1 + 2} - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{3} - 8 x^{2} \cdot - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 8$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{3} + 8 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.2

从 $8 x^{3}$ 中减去 $8 x^{3}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 0 + 8 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.10.3

将 $- 8 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4} + 8 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.11

运用分配律。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 48 (- 8 x^{4}) + 48 (8 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.12

将 $- 8$ 乘以 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 - 384 x^{4} + 48 (8 x^{2})}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.1.13

将 $8$ 乘以 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{144 x^{4} + 96 x^{2} - 48 - 384 x^{4} + 384 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.2

从 $144 x^{4}$ 中减去 $384 x^{4}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 240 x^{4} + 96 x^{2} - 48 + 384 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.4.3

将 $96 x^{2}$ 和 $384 x^{2}$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{- 240 x^{4} + 480 x^{2} - 48}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.5

从 $- 240 x^{4} + 480 x^{2} - 48$ 中分解出因数 $48$ 。

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解题步骤 4.20.5.1

从 $- 240 x^{4}$ 中分解出因数 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 5 x^{4}) + 480 x^{2} - 48}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.5.2

从 $480 x^{2}$ 中分解出因数 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 5 x^{4}) + 48 (10 x^{2}) - 48}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.5.3

从 $- 48$ 中分解出因数 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 5 x^{4}) + 48 (10 x^{2}) + 48 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.5.4

从 $48 (- 5 x^{4}) + 48 (10 x^{2})$ 中分解出因数 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 5 x^{4} + 10 x^{2}) + 48 (- 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.5.5

从 $48 (- 5 x^{4} + 10 x^{2}) + 48 (- 1)$ 中分解出因数 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 5 x^{4} + 10 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.6

从 $- 5 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- (5 x^{4}) + 10 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.7

从 $10 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- (5 x^{4}) - (- 10 x^{2}) - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.8

从 $- (5 x^{4}) - (- 10 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- (5 x^{4} - 10 x^{2}) - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.9

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- (5 x^{4} - 10 x^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.10

从 $- (5 x^{4} - 10 x^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.11

将 $- (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1)$ 重写为 $- 1 (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1)$ 。

$f^{4} (x) = \frac{48 (- 1 (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 4.20.12

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{48 (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{48 (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$ 。

$- \frac{48 (5 x^{4} - 10 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{5}}$

微积分学 示例

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