微积分学示例

$f (x) = \frac{4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5}{x^{3}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5$ 且 $g (x) = x^{3}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

将 ${(x^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

解题步骤 2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5] - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.2

根据加法法则， $4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{x^{3} (4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{x^{3} (4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.5

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + \frac{d}{d x} [7 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.6

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 7 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 7 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.8

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.9

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.11

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.12

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.14

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 + \frac{d}{d x} [5]) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.15

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4 + 0) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.16

将 $16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

解题步骤 2.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) (3 x^{2})}{x^{6}}$

解题步骤 2.18

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.18.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 2.18.2

从 $x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.18.2.1

从 $x^{3} (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}}{x^{6}}$

解题步骤 2.18.2.2

从 $- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5) x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) + x^{2} (- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{6}}$

解题步骤 2.18.2.3

从 $x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4)) + x^{2} (- 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{6}}$

解题步骤 3

约去公因数。

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解题步骤 3.1

从 $x^{6}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 3.2

约去公因数。

$\frac{x^{2} (x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5))}{x^{2} x^{4}}$

解题步骤 3.3

重写表达式。

$\frac{x (16 x^{3} + 21 x^{2} - 6 x - 4) - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5)}{x^{4}}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\frac{x (16 x^{3}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4} + 7 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 5)}{x^{4}}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$\frac{x (16 x^{3}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3

化简分子。

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解题步骤 4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{16 x \cdot x^{3} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{16 (x^{3} x) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.2.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{16 (x^{3} x^{1}) + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 x^{3 + 1} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.2.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{16 x^{4} + x (21 x^{2}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{16 x^{4} + 21 x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1.4.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{16 x^{4} + 21 (x^{2} x) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.4.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.4.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{16 x^{4} + 21 (x^{2} x^{1}) + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{2 + 1} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.4.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x \cdot x + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1.6.1

移动 $x$ 。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot - 4 - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.7

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 \cdot x - 3 (4 x^{4}) - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.8

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 3 (7 x^{3}) - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.9

将 $7$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} - 3 (- 3 x^{2}) - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.10

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.11

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 3 \cdot 5}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.1.12

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.2

合并 $16 x^{4} + 21 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} - 21 x^{3} + 9 x^{2} + 12 x - 15$ 中相反的项。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $21 x^{3}$ 中减去 $21 x^{3}$ 。

$\frac{16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} + 0 + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.2.2

将 $16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{16 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x - 12 x^{4} + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.3

从 $16 x^{4}$ 中减去 $12 x^{4}$ 。

$\frac{4 x^{4} - 6 x^{2} - 4 x + 9 x^{2} + 12 x - 15}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.4

将 $- 6 x^{2}$ 和 $9 x^{2}$ 相加。

$\frac{4 x^{4} + 3 x^{2} - 4 x + 12 x - 15}{x^{4}}$

解题步骤 4.3.5

将 $- 4 x$ 和 $12 x$ 相加。

$\frac{4 x^{4} + 3 x^{2} + 8 x - 15}{x^{4}}$

微积分学 示例

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