微积分学示例

$x^{2} \arctan (x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \arctan (x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 2

$\arctan (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$x^{2} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (2 x)$

解题步骤 4

要将 $\arctan (x) (2 x)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ 。

$\frac{x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + \arctan (x) (2 x) \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2

化简分子。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x \cdot 1 + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x) x^{2}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x))}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 (x^{2} x^{1}))}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{2 + 1})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.3.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + \arctan (x) (2 x^{3})}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.2.2

将 $x^{2} + 2 \arctan (x) x + 2 \arctan (x) x^{3}$ 中的因式重新排序。

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{1 + x^{2}}$

解题步骤 6.3

重新排序项。

$\frac{x^{2} + 2 x \arctan (x) + 2 x^{3} \arctan (x)}{x^{2} + 1}$

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