微积分学示例

$x^{7 x}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 1.1

将 $x^{7 x}$ 重写为 $e^{\ln (x^{7 x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{7 x})}]$

解题步骤 1.2

通过将 $7 x$ 移到对数外来展开 $\ln (x^{7 x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{7 x \ln (x)}]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 7 x \ln (x)$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $7 x \ln (x)$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x \ln (x)]$

解题步骤 2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [7 x \ln (x)]$

解题步骤 2.3

使用 $7 x \ln (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{7 x \ln (x)} \frac{d}{d x} [7 x \ln (x)]$

解题步骤 3

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$e^{7 x \ln (x)} (7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

解题步骤 4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$e^{7 x \ln (x)} (7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 5

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{7 x \ln (x)} (7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6

使用幂法则求微分。

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解题步骤 6.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$e^{7 x \ln (x)} (7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

约去公因数。

$e^{7 x \ln (x)} (7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.2.2

重写表达式。

$e^{7 x \ln (x)} (7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{7 x \ln (x)} (7 (1 + \ln (x) \cdot 1))$

解题步骤 6.4

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$e^{7 x \ln (x)} (7 (1 + \ln (x)))$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$e^{7 x \ln (x)} (7 \cdot 1 + 7 \ln (x))$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$e^{7 x \ln (x)} (7 \cdot 1) + e^{7 x \ln (x)} (7 \ln (x))$

解题步骤 7.3

合并项。

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解题步骤 7.3.1

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$e^{7 x \ln (x)} \cdot 7 + e^{7 x \ln (x)} (7 \ln (x))$

解题步骤 7.3.2

将 $7$ 移到 $e^{7 x \ln (x)}$ 的左侧。

$7 e^{7 x \ln (x)} + e^{7 x \ln (x)} (7 \ln (x))$

解题步骤 7.4

重新排序项。

$7 e^{7 x \ln (x)} \ln (x) + 7 e^{7 x \ln (x)}$

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