微积分学示例

$4 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin (x) \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$4 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 4

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 5

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 8

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x))$

解题步骤 9

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x))$

解题步骤 10

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

解题步骤 11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1})$

解题步骤 12

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

运用分配律。

$4 (- \sin^{2} (x)) + 4 \cos^{2} (x)$

解题步骤 13.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) + 4 \cos^{2} (x)$

解题步骤 13.3

将 $4 \cos^{2} (x)$ 重写为 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 。

$- 4 \sin^{2} (x) + {(2 \cos (x))}^{2}$

解题步骤 13.4

将 $4 \sin^{2} (x)$ 重写为 ${(2 \sin (x))}^{2}$ 。

$- {(2 \sin (x))}^{2} + {(2 \cos (x))}^{2}$

解题步骤 13.5

将 $- {(2 \sin (x))}^{2}$ 和 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 重新排序。

${(2 \cos (x))}^{2} - {(2 \sin (x))}^{2}$

解题步骤 13.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 \cos (x)$ 和 $b = 2 \sin (x)$ 。

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - (2 \sin (x)))$

解题步骤 13.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

解题步骤 13.8

使用 FOIL 方法展开 $(2 \cos (x) + 2 \sin (x)) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$ 。

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解题步骤 13.8.1

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

解题步骤 13.8.2

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x) - 2 \sin (x))$

解题步骤 13.8.3

运用分配律。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 13.9

合并 $2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x) (- 2 \sin (x)) + 2 \sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ 中相反的项。

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解题步骤 13.9.1

按照 $2 \cos (x) (- 2 \sin (x))$ 和 $2 \sin (x) (2 \cos (x))$ 重新排列因数。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) - 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 13.9.2

将 $- 2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ 和 $2 \cdot 2 \cos (x) \sin (x)$ 相加。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 0 + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 13.9.3

将 $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ 和 $0$ 相加。

$2 \cos (x) (2 \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 13.10

化简每一项。

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解题步骤 13.10.1

乘以 $2 \cos (x) (2 \cos (x))$ 。

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解题步骤 13.10.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cos (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 13.10.1.2

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 13.10.1.3

对 $\cos (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 13.10.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 13.10.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$

解题步骤 13.10.2

乘以 $2 \sin (x) (- 2 \sin (x))$ 。

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解题步骤 13.10.2.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin (x) \sin (x)$

解题步骤 13.10.2.2

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin (x))$

解题步骤 13.10.2.3

对 $\sin (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cos^{2} (x) - 4 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

解题步骤 13.10.2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \cos^{2} (x) - 4 {\sin (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 13.10.2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \cos^{2} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

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