微积分学示例

$2 x^{3} \sin (x) - 3 x \cos (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $2 x^{3} \sin (x) - 3 x \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

解题步骤 2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ 。

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$

解题步骤 3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

解题步骤 3.5

将 $\cos (x)$ 乘以 $1$ 。

$2 (x^{3} \cos (x) + \sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 (x^{3} \cos (x)) + 2 (\sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$2 (x^{3} \cos (x)) + 2 (\sin (x) (3 x^{2})) - 3 (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x)$

解题步骤 4.3

合并项。

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解题步骤 4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{3} \cos (x) + 6 (\sin (x) (x^{2})) - 3 (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x)$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$2 x^{3} \cos (x) + 6 \sin (x) x^{2} + 3 x \sin (x) - 3 \cos (x)$

解题步骤 4.4

重新排序项。

$2 x^{3} \cos (x) + 6 x^{2} \sin (x) + 3 x \sin (x) - 3 \cos (x)$

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