微积分学示例

$\frac{\ln (x)}{e^{x}}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

解题步骤 2

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{e^{x} \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 4

组合 $e^{x}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 5

将 $\frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$ 乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

合并。

$\frac{x (\frac{e^{x}}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

解题步骤 6.3

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\frac{x \frac{e^{x}}{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{x e^{2 x}}$

解题步骤 7

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{e^{x} + x (- \ln (x) e^{x})}{x e^{2 x}}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{x} - x e^{x} \ln (x)}{x e^{2 x}}$

解题步骤 8.2

重新排序项。

$\frac{- e^{x} x \ln (x) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

解题步骤 8.3

从 $- e^{x} x \ln (x) + e^{x}$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 8.3.1

从 $- e^{x} x \ln (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x}}{e^{2 x} x}$

解题步骤 8.3.2

乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1}{e^{2 x} x}$

解题步骤 8.3.3

从 $e^{x} (- x \ln (x)) + e^{x} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x} (- x \ln (x) + 1)}{e^{2 x} x}$

解题步骤 8.4

约去 $e^{x}$ 和 $e^{2 x}$ 的公因数。

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解题步骤 8.4.1

从 $e^{x} (- x \ln (x) + 1)$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

解题步骤 8.4.2

约去公因数。

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解题步骤 8.4.2.1

从 $e^{2 x} x$ 中分解出因数 $e^{2 x}$ 。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} (x)}$

解题步骤 8.4.2.2

约去公因数。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (- x \ln (x) + 1))}{e^{2 x} x}$

解题步骤 8.4.2.3

重写表达式。

$\frac{e^{- x} (- x \ln (x) + 1)}{x}$

解题步骤 8.5

从 $- x \ln (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) + 1)}{x}$

解题步骤 8.6

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x)) - 1 (- 1))}{x}$

解题步骤 8.7

从 $- (x \ln (x)) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{e^{- x} (- (x \ln (x) - 1))}{x}$

解题步骤 8.8

将 $- (x \ln (x) - 1)$ 重写为 $- 1 (x \ln (x) - 1)$ 。

$\frac{e^{- x} (- 1 (x \ln (x) - 1))}{x}$

解题步骤 8.9

将负号移到分数的前面。

$- \frac{e^{- x} (x \ln (x) - 1)}{x}$

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