微积分学示例

$\frac{x}{4} - \frac{4}{x}$

解题步骤 1

根据加法法则， $\frac{x}{4} - \frac{4}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x}{4}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{4} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$\frac{1}{4} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{1}{4} - 4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{1}{4} - 4 (- x^{- 2})$

解题步骤 3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{1}{4} + 4 x^{- 2}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{4} + 4 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{4} + \frac{4}{x^{2}}$

解题步骤 4.3

重新排序项。

$\frac{4}{x^{2}} + \frac{1}{4}$

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