微积分学示例

$y = \sin (\tan (4 x))$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \tan (4 x)$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\tan (4 x)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]$

解题步骤 1.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]$

解题步骤 1.3

使用 $\tan (4 x)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos (\tan (4 x)) \frac{d}{d x} [\tan (4 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \tan (x)$ 且 $g (x) = 4 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $4 x$ 。

$\cos (\tan (4 x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.2

$\tan (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{2})$ 。

$\cos (\tan (4 x)) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 2.3

使用 $4 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos (\tan (4 x)) (\sec^{2} (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x) (4 \cdot 1)$

解题步骤 3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x) \cdot 4$

解题步骤 3.3.2

将 $4$ 移到 $\cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x)$ 的左侧。

$4 \cdot (\cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x))$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

重新排序 $4 \cos (\tan (4 x)) \sec^{2} (4 x)$ 的因式。

$4 \sec^{2} (4 x) \cos (\tan (4 x))$

解题步骤 4.2

将 $\sec (4 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$4 {(\frac{1}{\cos (4 x)})}^{2} \cos (\tan (4 x))$

解题步骤 4.3

对 $\frac{1}{\cos (4 x)}$ 运用乘积法则。

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (4 x)} \cos (\tan (4 x))$

解题步骤 4.4

一的任意次幂都为一。

$4 \frac{1}{\cos^{2} (4 x)} \cos (\tan (4 x))$

解题步骤 4.5

组合 $4$ 和 $\frac{1}{\cos^{2} (4 x)}$ 。

$\frac{4}{\cos^{2} (4 x)} \cos (\tan (4 x))$

解题步骤 4.6

组合 $\frac{4}{\cos^{2} (4 x)}$ 和 $\cos (\tan (4 x))$ 。

$\frac{4 \cos (\tan (4 x))}{\cos^{2} (4 x)}$

解题步骤 4.7

从 $\cos^{2} (4 x)$ 中分解出因数 $\cos (4 x)$ 。

$\frac{4 \cos (\tan (4 x))}{\cos (4 x) \cos (4 x)}$

解题步骤 4.8

分离分数。

$\frac{4}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (\tan (4 x))}{\cos (4 x)}$

解题步骤 4.9

将 $\frac{\cos (\tan (4 x))}{\cos (4 x)}$ 重写为乘积形式。

$\frac{4}{\cos (4 x)} (\cos (\tan (4 x)) \frac{1}{\cos (4 x)})$

解题步骤 4.10

将 $\cos (\tan (4 x))$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{4}{\cos (4 x)} (\frac{\cos (\tan (4 x))}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x)})$

解题步骤 4.11

化简。

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解题步骤 4.11.1

用 $\cos (\tan (4 x))$ 除以 $1$ 。

$\frac{4}{\cos (4 x)} (\cos (\tan (4 x)) \frac{1}{\cos (4 x)})$

解题步骤 4.11.2

将 $\frac{1}{\cos (4 x)}$ 转换成 $\sec (4 x)$ 。

$\frac{4}{\cos (4 x)} (\cos (\tan (4 x)) \sec (4 x))$

解题步骤 4.12

分离分数。

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (4 x)} (\cos (\tan (4 x)) \sec (4 x))$

解题步骤 4.13

将 $\frac{1}{\cos (4 x)}$ 转换成 $\sec (4 x)$ 。

$\frac{4}{1} \sec (4 x) (\cos (\tan (4 x)) \sec (4 x))$

解题步骤 4.14

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 \sec (4 x) (\cos (\tan (4 x)) \sec (4 x))$

解题步骤 4.15

乘以 $4 \sec (4 x) (\cos (\tan (4 x)) \sec (4 x))$ 。

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解题步骤 4.15.1

对 $\sec (4 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\sec^{1} (4 x) \sec (4 x)) \cos (\tan (4 x))$

解题步骤 4.15.2

对 $\sec (4 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (\sec^{1} (4 x) \sec^{1} (4 x)) \cos (\tan (4 x))$

解题步骤 4.15.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 {\sec (4 x)}^{1 + 1} \cos (\tan (4 x))$

解题步骤 4.15.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \sec^{2} (4 x) \cos (\tan (4 x))$

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