微积分学示例

$\frac{2 x + 5}{3 x - 2}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = 2 x + 5$ 且 $g (x) = 3 x - 2$ 。

$\frac{(3 x - 2) \frac{d}{d x} [2 x + 5] - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{(3 x - 2) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{(3 x - 2) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(3 x - 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(3 x - 2) (2 + \frac{d}{d x} [5]) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.5

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(3 x - 2) (2 + 0) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(3 x - 2) \cdot 2 - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

将 $2$ 移到 $3 x - 2$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (3 x - 2) - (2 x + 5) \frac{d}{d x} [3 x - 2]}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $3 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.8

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.10

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.11

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) (3 + 0)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.12

化简表达式。

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解题步骤 2.12.1

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (3 x - 2) - (2 x + 5) \cdot 3}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 2.12.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (3 x - 2) - 3 (2 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x + 5)}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.2

运用分配律。

$\frac{2 (3 x) + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3

化简分子。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 x + 2 \cdot - 2 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{6 x - 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{6 x - 4 - 6 x - 3 \cdot 5}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{6 x - 4 - 6 x - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

合并 $6 x - 4 - 6 x - 15$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.2.1

从 $6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$\frac{0 - 4 - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$\frac{- 4 - 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $- 4$ 中减去 $15$ 。

$\frac{- 19}{{(3 x - 2)}^{2}}$

解题步骤 3.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{19}{{(3 x - 2)}^{2}}$

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