微积分学示例

$\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$

解题步骤 1

因为 $3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $\frac{3 \ln (t)}{a t - b t^{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$ 。

$3 \frac{d}{d t} [\frac{\ln (t)}{a t - b t^{2}}]$

解题步骤 2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = \ln (t)$ 且 $g (t) = a t - b t^{2}$ 。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{d}{d t} [\ln (t)] - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 3

$\ln (t)$ 对 $t$ 的导数为 $\frac{1}{t}$ 。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) \frac{d}{d t} [a t - b t^{2}]}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $a t - b t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}]$ 。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (\frac{d}{d t} [a t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.2

因为 $a$ 对于 $t$ 是常数，所以 $a t$ 对 $t$ 的导数是 $a \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.4

将 $a$ 乘以 $1$ 。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a + \frac{d}{d t} [- b t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.5

因为 $- b$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- b t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- b \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b \frac{d}{d t} [t^{2}])}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - b (2 t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.7

合并分数。

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解题步骤 4.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$3 \frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.7.2

组合 $3$ 和 $\frac{(a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$ 。

$\frac{3 ((a t - b t^{2}) \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) (a - 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{3 (a t \frac{1}{t} - b t^{2} \frac{1}{t} - \ln (t) a - \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.3

运用分配律。

$\frac{3 (a t \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4

化简分子。

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解题步骤 5.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.1.1

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.1.1

从 $a t$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.1.2

约去公因数。

$\frac{3 (t a \frac{1}{t}) + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.1.3

重写表达式。

$\frac{3 a + 3 (- b t^{2} \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2

约去 $t$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1.2.1

从 $- b t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2.2

约去公因数。

$\frac{3 a + 3 (t (- b t) \frac{1}{t}) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.2.3

重写表达式。

$\frac{3 a + 3 (- b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 a - 3 (b t) + 3 (- \ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4

乘以 $3 (- \ln (t) a)$ 。

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解题步骤 5.4.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 a - 3 b t - 3 (\ln (t) a) + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4.2

将 $\ln (t)$ 和 $- 3$ 重新排序。

$\frac{3 a - 3 b t - 3 \cdot \ln (t) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.4.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \cdot \ln (t)$ 。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (- \ln (t) (- 2 b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.5

乘以 $- \ln (t) (- 2 b t)$ 。

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解题步骤 5.4.1.5.1

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (2 \ln (t) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.5.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (t)$ 。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 (\ln (t^{2}) (b t))}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.6

乘以 $3 (\ln (t^{2}) (b t))$ 。

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解题步骤 5.4.1.6.1

将 $\ln (t^{2})$ 和 $3$ 重新排序。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + 3 \cdot \ln (t^{2}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.6.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \cdot \ln (t^{2})$ 。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln ({(t^{2})}^{3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.7

将 ${(t^{2})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.4.1.7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{2 \cdot 3}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.1.7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.4.2

将 $3 a - 3 b t - \ln (t^{3}) a + \ln (t^{6}) (b t)$ 中的因式重新排序。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - b t^{2})}^{2}}$

解题步骤 5.5

重新排序项。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(a t - t^{2} b)}^{2}}$

解题步骤 5.6

化简分母。

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解题步骤 5.6.1

从 $a t - t^{2} b$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 5.6.1.1

从 $a t$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a - t^{2} b)}^{2}}$

解题步骤 5.6.1.2

从 $- t^{2} b$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t a + t (- t b))}^{2}}$

解题步骤 5.6.1.3

从 $t a + t (- t b)$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{{(t (a - t b))}^{2}}$

解题步骤 5.6.2

对 $t (a - t b)$ 运用乘积法则。

$\frac{3 a - 3 b t - a \ln (t^{3}) + b t \ln (t^{6})}{t^{2} {(a - t b)}^{2}}$

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