微积分学示例

$f (t) = {(\frac{1}{t - 3})}^{2}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = \frac{1}{t - 3}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $\frac{1}{t - 3}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

解题步骤 1.3

使用 $\frac{1}{t - 3}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$2 \frac{1}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

解题步骤 2

合并分数。

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解题步骤 2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{t - 3}$ 。

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [\frac{1}{t - 3}]$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{t - 3}$ 重写为 ${(t - 3)}^{- 1}$ 。

$\frac{2}{t - 3} \frac{d}{d t} [{(t - 3)}^{- 1}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = t - 3$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $t - 3$ 。

$\frac{2}{t - 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [t - 3])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$\frac{2}{t - 3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

解题步骤 3.3

使用 $t - 3$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\frac{2}{t - 3} (- {(t - 3)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t - 3])$

解题步骤 4

合并分数。

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解题步骤 4.1

组合 $\frac{2}{t - 3}$ 和 ${(t - 3)}^{- 2}$ 。

$- \frac{2 {(t - 3)}^{- 2}}{t - 3} \frac{d}{d t} [t - 3]$

解题步骤 4.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(t - 3)}^{- 2}$ 移动到分母。

$- \frac{2}{(t - 3) {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

解题步骤 5

通过指数相加将 $t - 3$ 乘以 ${(t - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1

将 $t - 3$ 乘以 ${(t - 3)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1

对 $t - 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1} {(t - 3)}^{2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

解题步骤 5.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{1 + 2}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

解题步骤 5.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \frac{d}{d t} [t - 3]$

解题步骤 6

根据加法法则， $t - 3$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3]$ 。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 3])$

解题步骤 7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + \frac{d}{d t} [- 3])$

解题步骤 8

因为 $- 3$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} (1 + 0)$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}} \cdot 1$

解题步骤 9.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{{(t - 3)}^{3}}$

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