微积分学示例

$860 - \frac{326}{\sqrt{t}}$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $860 - \frac{326}{\sqrt{t}}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [860] + \frac{d}{d t} [- \frac{326}{\sqrt{t}}]$ 。

$\frac{d}{d t} [860] + \frac{d}{d t} [- \frac{326}{\sqrt{t}}]$

解题步骤 1.2

因为 $860$ 对于 $t$ 是常数，所以 $860$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{326}{\sqrt{t}}]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d t} [- \frac{326}{\sqrt{t}}]$ 。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{326}{t^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.2

因为 $- 326$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- \frac{326}{t^{\frac{1}{2}}}$ 对 $t$ 的导数是 $- 326 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$ 。

$0 - 326 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}]$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ 重写为 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ 。

$0 - 326 \frac{d}{d t} [{(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{- 1}$ 且 $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$0 - 326 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$0 - 326 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.4.3

使用 $t^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - 326 (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$0 - 326 (- {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.6

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - 326 (- t^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.6.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 - 326 (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.6.2.2

约去公因数。

$0 - 326 (- t^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.6.2.3

重写表达式。

$0 - 326 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - 326 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - 326 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$0 - 326 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 - 326 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$0 - 326 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

解题步骤 2.11

将负号移到分数的前面。

$0 - 326 (- t^{- 1} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

解题步骤 2.12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$0 - 326 (- t^{- 1} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

解题步骤 2.13

组合 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 和 $t^{- 1}$ 。

$0 - 326 (- \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{- 1}}{2})$

解题步骤 2.14

通过指数相加将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 乘以 $t^{- 1}$ 。

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解题步骤 2.14.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$0 - 326 (- \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

解题步骤 2.14.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - 326 (- \frac{t^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.14.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$0 - 326 (- \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.14.4

在公分母上合并分子。

$0 - 326 (- \frac{t^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.14.5

化简分子。

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解题步骤 2.14.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$0 - 326 (- \frac{t^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

解题步骤 2.14.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$0 - 326 (- \frac{t^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.14.6

将负号移到分数的前面。

$0 - 326 (- \frac{t^{- \frac{3}{2}}}{2})$

解题步骤 2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{3}{2}}$ 移动到分母。

$0 - 326 (- \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 2.16

将 $- 1$ 乘以 $- 326$ 。

$0 + 326 \frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.17

组合 $326$ 和 $\frac{1}{2 t^{\frac{3}{2}}}$ 。

$0 + \frac{326}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.18

从 $326$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{2 \cdot 163}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.19

约去公因数。

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解题步骤 2.19.1

从 $2 t^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$0 + \frac{2 \cdot 163}{2 (t^{\frac{3}{2}})}$

解题步骤 2.19.2

约去公因数。

$0 + \frac{2 \cdot 163}{2 t^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.19.3

重写表达式。

$0 + \frac{163}{t^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

将 $0$ 和 $\frac{163}{t^{\frac{3}{2}}}$ 相加。

$\frac{163}{t^{\frac{3}{2}}}$

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