微积分学示例

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) = \ln (2)$

解题步骤 1

将所有包含对数的项移到等式左边。

$\ln (x^{2} + 1) - 3 \ln (x) - \ln (2) = 0$

解题步骤 2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x) = 0$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

化简 $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - 3 \ln (x)$ 。

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解题步骤 3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 3 \ln (x)$ 。

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2}) - \ln (x^{3}) = 0$

解题步骤 3.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{\frac{x^{2} + 1}{2}}{x^{3}}) = 0$

解题步骤 3.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2} \cdot \frac{1}{x^{3}}) = 0$

解题步骤 3.1.4

将 $\frac{x^{2} + 1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$

解题步骤 4

利用对数的定义将 $\ln (\frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \frac{x^{2} + 1}{2 x^{3}}$

解题步骤 5

交叉相乘以去掉分数。

$x^{2} + 1 = e^{0} (2 x^{3})$

解题步骤 6

化简 $e^{0} (2 x^{3})$ 。

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解题步骤 6.1

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{2} + 1 = 1 (2 x^{3})$

解题步骤 6.2

将 $2 x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + 1 = 2 x^{3}$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $2 x^{3}$ 。

$x^{2} + 1 - 2 x^{3} = 0$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.1

重新排序项。

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 8.2

使用有理根检验法因式分解 $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 8.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 8.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5$

解题步骤 8.2.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 8.2.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$- 2 \cdot 1^{3} + 1^{2} + 1$

解题步骤 8.2.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 2 \cdot 1 + 1^{2} + 1$

解题步骤 8.2.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 + 1^{2} + 1$

解题步骤 8.2.3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 2 + 1 + 1$

解题步骤 8.2.3.5

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$- 1 + 1$

解题步骤 8.2.3.6

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$0$

解题步骤 8.2.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- 2 x^{3} + x^{2} + 1}{x - 1}$

解题步骤 8.2.5

用 $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 8.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 8.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$

解题步骤 8.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 8.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 8.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 8.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$2 x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 8.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 8.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 8.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} + x$ 中的所有符号

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 8.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$

解题步骤 8.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$2 x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

解题步骤 8.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$

解题步骤 8.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							-	$x$	+	$1$

解题步骤 8.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x + 1$ 中的所有符号

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$

解题步骤 8.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$2 x^{2}$	-	$x$	-	$1$
$x$	-	$1$	-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							-	$x$	+	$1$
							+	$x$	-	$1$
										$0$

解题步骤 8.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- 2 x^{2} - x - 1$

解题步骤 8.2.6

将 $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1) = 0$

解题步骤 9

化简 $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ 。

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解题步骤 9.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x - 1) (- 2 x^{2} - x - 1)$ 。

$x (- 2 x^{2}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2

化简项。

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解题步骤 9.2.1

化简每一项。

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解题步骤 9.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 9.2.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$- 2 (x^{2} x) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.2.1.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 (x^{2} x^{1}) + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 x^{2 + 1} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.2.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- 2 x^{3} + x (- x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$- 2 x^{3} - x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 9.2.1.4.1

移动 $x$ 。

$- 2 x^{3} - (x \cdot x) + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 2 x^{3} - x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.5

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$- 2 x^{3} - x^{2} - 1 \cdot x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.6

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$- 2 x^{3} - x^{2} - x - 1 (- 2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} - 1 (- x) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.8

乘以 $- 1 (- x)$ 。

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解题步骤 9.2.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + 1 x - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.8.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 9.2.1.9

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 9.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 9.2.2.1

合并 $- 2 x^{3} - x^{2} - x + 2 x^{2} + x + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 9.2.2.1.1

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 0 + 1 = 0$

解题步骤 9.2.2.1.2

将 $- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 2 x^{3} - x^{2} + 2 x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 9.2.2.2

将 $- x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$- 2 x^{3} + x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 10

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 10.1

从 $- 2 x^{3} + x^{2} + 1$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 10.1.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 x^{3}) + x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 10.1.2

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) + 1 = 0$

解题步骤 10.1.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 10.1.4

从 $- (2 x^{3}) - 1 (- x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 \cdot - 1 = 0$

解题步骤 10.1.5

从 $- (2 x^{3} - x^{2}) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (2 x^{3} - x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 10.2

因数。

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解题步骤 10.2.1

使用有理根检验法因式分解 $2 x^{3} - x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 10.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

解题步骤 10.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.5$

解题步骤 10.2.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 10.2.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$2 \cdot 1^{3} - 1^{2} - 1$

解题步骤 10.2.1.3.2

对 $1$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 \cdot 1 - 1^{2} - 1$

解题步骤 10.2.1.3.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1^{2} - 1$

解题步骤 10.2.1.3.4

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 - 1 \cdot 1 - 1$

解题步骤 10.2.1.3.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1 - 1$

解题步骤 10.2.1.3.6

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$1 - 1$

解题步骤 10.2.1.3.7

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 10.2.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} - 1}{x - 1}$

解题步骤 10.2.1.5

用 $2 x^{3} - x^{2} - 1$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 10.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 10.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $2 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$

解题步骤 10.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 10.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{3} - 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 10.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$

解题步骤 10.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 10.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 10.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 10.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} - x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 10.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$

解题步骤 10.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

解题步骤 10.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$

解题步骤 10.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

解题步骤 10.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x - 1$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

解题步骤 10.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$0 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

解题步骤 10.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} + x + 1$

解题步骤 10.2.1.6

将 $2 x^{3} - x^{2} - 1$ 书写为因数的集合。

$- ((x - 1) (2 x^{2} + x + 1)) = 0$

解题步骤 10.2.2

去掉多余的括号。

$- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$

解题步骤 11

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 12

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 13

将 $2 x^{2} + x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $2 x^{2} + x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 13.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} + x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 13.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 13.2.2

将 $a = 2$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.3

化简。

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解题步骤 13.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 13.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ 。

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解题步骤 13.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.3.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.3.1.4

将 $- 7$ 重写为 $- 1 (7)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (7)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 13.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 13.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$

解题步骤 14

最终解为使 $- (x - 1) (2 x^{2} + x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{7}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{7}}{4}$

微积分学 示例

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