微积分学示例

$\frac{x}{\ln (x)}$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

求在何处表达式 $\frac{x}{\ln (x)}$ 无定义。

$x \leq 0, x = 1$

解题步骤 1.2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{x}{\ln (x)}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $1$ 时， $\frac{x}{\ln (x)}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 1$ 是一条垂直渐近线。

$x = 1$

解题步骤 1.3

因为极限不存在，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 1.4

对数函数和三角函数没有斜渐近线。

不存在斜渐近线

解题步骤 1.5

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = 1$

不存在水平渐近线

垂直渐近线： $x = 1$

不存在水平渐近线

解题步骤 2

求在 $x = 2$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = \frac{2}{\ln (2)}$

解题步骤 2.2

最终答案为 $\frac{2}{\ln (2)}$ 。

$\frac{2}{\ln (2)}$

解题步骤 2.3

把 $\frac{2}{\ln (2)}$ 转换成小数。

$y = 2.88539008$

解题步骤 3

求在 $x = 3$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{3}{\ln (3)}$

解题步骤 3.2

最终答案为 $\frac{3}{\ln (3)}$ 。

$\frac{3}{\ln (3)}$

解题步骤 3.3

把 $\frac{3}{\ln (3)}$ 转换成小数。

$y = 2.73071767$

解题步骤 4

求在 $x = 4$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f (4) = \frac{4}{\ln (4)}$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

将 $\ln (4)$ 重写为 $\ln (2^{2})$ 。

$f (4) = \frac{4}{\ln (2^{2})}$

解题步骤 4.2.2

通过将 $2$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{2})$ 。

$f (4) = \frac{4}{2 \ln (2)}$

解题步骤 4.2.3

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)}$

解题步骤 4.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.2.3.2.1

从 $2 \ln (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 (\ln (2))}$

解题步骤 4.2.3.2.2

约去公因数。

$f (4) = \frac{2 \cdot 2}{2 \ln (2)}$

解题步骤 4.2.3.2.3

重写表达式。

$f (4) = \frac{2}{\ln (2)}$

解题步骤 4.2.4

最终答案为 $\frac{2}{\ln (2)}$ 。

$\frac{2}{\ln (2)}$

解题步骤 4.3

把 $\frac{2}{\ln (2)}$ 转换成小数。

$y = 2.88539008$

解题步骤 5

可以使用 $x = 1$ 处的垂直渐近线和点 $(2, 2.88539008), (3, 2.73071767), (4, 2.88539008)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 2.885 \\ 3 & 2.731 \\ 4 & 2.885 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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