微积分学示例

$\ln (\sec (x))$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意 $y = \sec (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = \frac{π}{2} + n π$ 处，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = s e c (x)$ 、 $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 的基本周期求 $y = \ln (\sec (x))$ 的垂直渐近线。将 $y = a \sec (b x + c) + d$ 的正割函数的变量 $b x + c$ 设为等于 $- \frac{π}{2}$ ，以求 $y = \ln (\sec (x))$ 的垂直渐近线出现的位置。

$\sec (x) = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (- \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.1

计算 $arcsec (- \frac{π}{2})$ 。

$x = 2.26090341$

解题步骤 1.2.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

解题步骤 1.2.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 2.26090341$

解题步骤 1.2.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 2.26090341$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 2.26090341$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $2.26090341$ 。

$x = 4.02228188$

解题步骤 1.2.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

将正割函数 $\sec (x)$ 的变量设为 $\frac{3 π}{2}$ 。

$\sec (x) = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

计算 $arcsec (\frac{3 π}{2})$ 。

$x = 1.3569639$

解题步骤 1.4.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

解题步骤 1.4.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.4.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 1.3569639$

解题步骤 1.4.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 1.3569639$ 。

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解题步骤 1.4.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 1.3569639$

解题步骤 1.4.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $1.3569639$ 。

$x = 4.9262214$

解题步骤 1.4.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.4.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.4.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.4.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.4.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.4.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.5

$y = \ln (\sec (x))$ 的基期将出现在 $(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$ ，其中 $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ 和 $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ 为垂直渐近线。

$(2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n, 1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n)$

解题步骤 1.6

求周期 $\frac{2 π}{| b |}$ 以求出垂直渐近线出现的位置。垂直渐近线每半个周期出现一次。

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解题步骤 1.6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.6.2

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.7

$y = \ln (\sec (x))$ 的垂直渐近线出现在 $2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n$ 、 $1.3569639 + 2 π n, 4.9262214 + 2 π n$ 和每一个 $π n$ 处，其中 $n$ 是一个整数。这是周期的二分一。

$π n$

解题步骤 1.8

正割和余割函数只有垂直渐近线。

垂直渐近线：任何整数 $n$ 的 $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线：任何整数 $n$ 的 $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n$

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 2

求在 $x = 1$ 处的点。

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解题步骤 2.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \ln (\sec (1))$

解题步骤 2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.1

计算 $\sec (1)$ 。

$f (1) = \ln (1.85081571)$

解题步骤 2.2.2

最终答案为 $\ln (1.85081571)$ 。

$\ln (1.85081571)$

解题步骤 3

求在 $x = 5$ 处的点。

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解题步骤 3.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = \ln (\sec (5))$

解题步骤 3.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.1

计算 $\sec (5)$ 。

$f (5) = \ln (3.52532008)$

解题步骤 3.2.2

最终答案为 $\ln (3.52532008)$ 。

$\ln (3.52532008)$

解题步骤 4

求在 $x = 6$ 处的点。

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解题步骤 4.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f (6) = \ln (\sec (6))$

解题步骤 4.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.1

计算 $\sec (6)$ 。

$f (6) = \ln (1.04148192)$

解题步骤 4.2.2

最终答案为 $\ln (1.04148192)$ 。

$\ln (1.04148192)$

解题步骤 5

可以使用 $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ 处的垂直渐近线和点 $(1, 0.61562647), (5, 1.25997123), (6, 0.04064462)$ 画出对数函数的图像。

垂直渐近线： $x = 2.26090341 + 2 π n, 4.02228188 + 2 π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.616 \\ 5 & 1.26 \\ 6 & 0.041 \end{array}$

解题步骤 6

微积分学 示例

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