微积分学示例

$y = 4 x^{3} - 4 x$ , $(- 1, 0)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 1$ 和 $y = 0$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $4 x^{3} - 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$12 x^{2} - 4 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$12 x^{2} - 4$

解题步骤 1.4

计算在 $x = - 1$ 处的导数。

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$12 \cdot 1 - 4$

解题步骤 1.5.1.2

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$12 - 4$

解题步骤 1.5.2

从 $12$ 中减去 $4$ 。

$8$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $8$ 和给定点 $(- 1, 0)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (0) = 8 \cdot (x - (- 1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + 0 = 8 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $y$ 和 $0$ 相加。

$y = 8 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3.2

化简 $8 \cdot (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$y = 8 x + 8 \cdot 1$

解题步骤 2.3.2.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$y = 8 x + 8$

解题步骤 3

微积分学 示例

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