微积分学示例

$y = \frac{4 x}{x - 5}$ , $(7, 14)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 7$ 和 $y = 14$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{x - 5}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x - 5}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x - 5$ 。

$4 \frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{(x - 5) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $x - 5$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{x - 5 - x \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$4 \frac{x - 5 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{x - 5 - x (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{x - 5 - x (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简项。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{x - 5 - x \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{x - 5 - x}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$4 \frac{0 - 5}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.4

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.4.1

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$4 \frac{- 5}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.4.2

将负号移到分数的前面。

$4 (- \frac{5}{{(x - 5)}^{2}})$

解题步骤 1.3.6.4.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.5

组合 $- 4$ 和 $\frac{5}{{(x - 5)}^{2}}$ 。

$\frac{- 4 \cdot 5}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.6.1

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 20}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{20}{{(x - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 7$ 处的导数。

$- \frac{20}{{((7) - 5)}^{2}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分母。

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解题步骤 1.5.1.1

从 $7$ 中减去 $5$ 。

$- \frac{20}{2^{2}}$

解题步骤 1.5.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{20}{4}$

解题步骤 1.5.2

化简表达式。

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解题步骤 1.5.2.1

用 $20$ 除以 $4$ 。

$- 1 \cdot 5$

解题步骤 1.5.2.2

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $- 5$ 和给定点 $(7, 14)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (14) = - 5 \cdot (x - (7))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 14 = - 5 \cdot (x - 7)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $- 5 \cdot (x - 7)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 14 = 0 + 0 - 5 \cdot (x - 7)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 14 = - 5 \cdot (x - 7)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 14 = - 5 x - 5 \cdot - 7$

解题步骤 2.3.1.4

将 $- 5$ 乘以 $- 7$ 。

$y - 14 = - 5 x + 35$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $14$ 。

$y = - 5 x + 35 + 14$

解题步骤 2.3.2.2

将 $35$ 和 $14$ 相加。

$y = - 5 x + 49$

解题步骤 3

微积分学 示例

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