微积分学示例

$y = \frac{7 x}{x + 4}$ , $(3, 3)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = 3$ 和 $y = 3$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{7 x}{x + 4}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$ 。

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 4}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

$7 \frac{(x + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \frac{(x + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $x + 4$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{x + 4 - x \frac{d}{d x} [x + 4]}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$7 \frac{x + 4 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$7 \frac{x + 4 - x (1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$7 \frac{x + 4 - x (1 + 0)}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简项。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$7 \frac{x + 4 - x \cdot 1}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$7 \frac{x + 4 - x}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.3

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$7 \frac{0 + 4}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.4

将 $0$ 和 $4$ 相加。

$7 \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.5

组合 $7$ 和 $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ 。

$\frac{7 \cdot 4}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.6

将 $7$ 乘以 $4$ 。

$\frac{28}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.4

计算在 $x = 3$ 处的导数。

$\frac{28}{{((3) + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

化简分母。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$\frac{28}{7^{2}}$

解题步骤 1.5.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{28}{49}$

解题步骤 1.5.2

约去 $28$ 和 $49$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.1

从 $28$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 (4)}{49}$

解题步骤 1.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1

从 $49$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{7 \cdot 4}{7 \cdot 7}$

解题步骤 1.5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{4}{7}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{4}{7}$ 和给定点 $(3, 3)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (3) = \frac{4}{7} \cdot (x - (3))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{4}{7} \cdot (x - 3)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 3 = \frac{4}{7} \cdot (x - 3)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 3 = \frac{4}{7} x + \frac{4}{7} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{4}{7}$ 和 $x$ 。

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4}{7} \cdot - 3$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $\frac{4}{7} \cdot - 3$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

组合 $\frac{4}{7}$ 和 $- 3$ 。

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{4 \cdot - 3}{7}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$y - 3 = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12}{7}$

解题步骤 2.3.1.6

将负号移到分数的前面。

$y - 3 = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + 3 \cdot \frac{7}{7}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$y = \frac{4 x}{7} - \frac{12}{7} + \frac{3 \cdot 7}{7}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 3 \cdot 7}{7}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $3$ 乘以 $7$ 。

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{- 12 + 21}{7}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $- 12$ 和 $21$ 相加。

$y = \frac{4 x}{7} + \frac{9}{7}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{4}{7} x + \frac{9}{7}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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