微积分学示例

$2 x^{2} + y^{2} = 57$ , $(- 4, 5)$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 4$ 和 $y = 5$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + y^{2}) = \frac{d}{d x} (57)$

解题步骤 1.2

对方程左边求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x^{2} + y^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.2.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

解题步骤 1.2.3

计算 $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = y$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y$ 。

$4 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 x + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.3.1.3

使用 $y$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 x + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

解题步骤 1.2.3.2

将 $\frac{d}{d x} [y]$ 重写为 $y'$ 。

$4 x + 2 y y'$

解题步骤 1.2.4

重新排序项。

$2 y y' + 4 x$

解题步骤 1.3

因为 $57$ 对于 $x$ 是常数，所以 $57$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$2 y y' + 4 x = 0$

解题步骤 1.5

求解 $y'$ 。

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解题步骤 1.5.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$2 y y' = - 4 x$

解题步骤 1.5.2

将 $2 y y' = - 4 x$ 中的每一项除以 $2 y$ 并化简。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $2 y y' = - 4 x$ 中的每一项都除以 $2 y$ 。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

解题步骤 1.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

解题步骤 1.5.2.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

解题步骤 1.5.2.2.2

约去 $y$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 4 x}{2 y}$

解题步骤 1.5.2.2.2.2

用 $y'$ 除以 $1$ 。

$y' = \frac{- 4 x}{2 y}$

解题步骤 1.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.2.3.1

约去 $- 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.1.1

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.5.2.3.1.2.1

从 $2 y$ 中分解出因数 $2$ 。

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 (y)}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2.2

约去公因数。

$y' = \frac{2 (- 2 x)}{2 y}$

解题步骤 1.5.2.3.1.2.3

重写表达式。

$y' = \frac{- 2 x}{y}$

解题步骤 1.5.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$y' = - \frac{2 x}{y}$

解题步骤 1.6

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{y}$

解题步骤 1.7

计算 $x = - 4$ 和 $y = 5$ 处的值。

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解题步骤 1.7.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$- \frac{2 (- 4)}{y}$

解题步骤 1.7.2

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $y$ 。

$- \frac{2 (- 4)}{5}$

解题步骤 1.7.3

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$- \frac{- 8}{5}$

解题步骤 1.7.4

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{8}{5}$

解题步骤 1.7.5

乘以 $- - \frac{8}{5}$ 。

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解题步骤 1.7.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{8}{5})$

解题步骤 1.7.5.2

将 $\frac{8}{5}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{8}{5}$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $\frac{8}{5}$ 和给定点 $(- 4, 5)$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (5) = \frac{8}{5} \cdot (x - (- 4))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y - 5 = \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $\frac{8}{5} \cdot (x + 4)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y - 5 = 0 + 0 + \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y - 5 = \frac{8}{5} \cdot (x + 4)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y - 5 = \frac{8}{5} x + \frac{8}{5} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.4

组合 $\frac{8}{5}$ 和 $x$ 。

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{8}{5} \cdot 4$

解题步骤 2.3.1.5

乘以 $\frac{8}{5} \cdot 4$ 。

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解题步骤 2.3.1.5.1

组合 $\frac{8}{5}$ 和 $4$ 。

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{8 \cdot 4}{5}$

解题步骤 2.3.1.5.2

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$y - 5 = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5}$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + 5$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32 + 5 \cdot 5}{5}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{32 + 25}{5}$

解题步骤 2.3.2.5.2

将 $32$ 和 $25$ 相加。

$y = \frac{8 x}{5} + \frac{57}{5}$

解题步骤 2.3.3

重新排序项。

$y = \frac{8}{5} x + \frac{57}{5}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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