微积分学示例

$y = 1 - x^{2}$ , $y = 0$

解题步骤 1

要求立方体的体积，首先确定每一切面的面积，然后对值域求积分。每一切面的面积就是半径为 $f (x)$ 和 $A = π r^{2}$ 的圆的面积。

当 $f (x) = - x^{2} + 1$ 时， $V = π \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x$

解题步骤 2

化简被积函数。

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解题步骤 2.1

将 ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ 重写为 $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ 。

$V = (- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$

解题步骤 2.2

使用 FOIL 方法展开 $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ 。

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解题步骤 2.2.1

运用分配律。

$V = - x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.2

运用分配律。

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)$

解题步骤 2.2.3

运用分配律。

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$V = x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.6

将 $- x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.7

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$V = x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1$

解题步骤 2.3.2

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$V = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$V = π (\int_{- 1}^{1} x^{4} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 5

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 \int_{- 1}^{1} x^{2} d x + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} d x)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}) + x]_{- 1}^{1})$

解题步骤 10

化简答案。

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解题步骤 10.1

组合 $\frac{x^{5}}{5}]_{- 1}^{1}$ 和 $x]_{- 1}^{1}$ 。

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{- 1}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

解题步骤 10.2

代入并化简。

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解题步骤 10.2.1

计算 $\frac{x^{5}}{5} + x$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 1}^{1}))$

解题步骤 10.2.2

计算 $\frac{x^{3}}{3}$ 在 $1$ 处和在 $- 1$ 处的值。

$V = π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3

化简。

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解题步骤 10.2.3.1

一的任意次幂都为一。

$V = π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$V = π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.3

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.4

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{{(- 1)}^{5}}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.5

对 $- 1$ 进行 $5$ 次方运算。

$V = π (\frac{6}{5} - (\frac{- 1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.6

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{6}{5} - (- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.9

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.10

化简分子。

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解题步骤 10.2.3.10.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 1 - 5}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.10.2

从 $- 1$ 中减去 $5$ 。

$V = π (\frac{6}{5} - \frac{- 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.11

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.12

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (\frac{6}{5} + 1 (\frac{6}{5}) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.13

将 $\frac{6}{5}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (\frac{6}{5} + \frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.14

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{6 + 6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.15

将 $6$ 和 $6$ 相加。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.16

一的任意次幂都为一。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{{(- 1)}^{3}}{3}))$

解题步骤 10.2.3.17

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{- 1}{3}))$

解题步骤 10.2.3.18

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

解题步骤 10.2.3.19

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 1 (\frac{1}{3})))$

解题步骤 10.2.3.20

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{1}{3} + \frac{1}{3}))$

解题步骤 10.2.3.21

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 \frac{1 + 1}{3})$

解题步骤 10.2.3.22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$V = π (\frac{12}{5} - 2 (\frac{2}{3}))$

解题步骤 10.2.3.23

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 2 \cdot 2}{3})$

解题步骤 10.2.3.24

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$V = π (\frac{12}{5} + \frac{- 4}{3})$

解题步骤 10.2.3.25

将负号移到分数的前面。

$V = π (\frac{12}{5} - \frac{4}{3})$

解题步骤 10.2.3.26

要将 $\frac{12}{5}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3})$

解题步骤 10.2.3.27

要将 $- \frac{4}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{12}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 10.2.3.28

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $15$ 的形式。

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解题步骤 10.2.3.28.1

将 $\frac{12}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 10.2.3.28.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{5})$

解题步骤 10.2.3.28.3

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

解题步骤 10.2.3.28.4

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{12 \cdot 3}{15} - \frac{4 \cdot 5}{15})$

解题步骤 10.2.3.29

在公分母上合并分子。

$V = π (\frac{12 \cdot 3 - 4 \cdot 5}{15})$

解题步骤 10.2.3.30

化简分子。

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解题步骤 10.2.3.30.1

将 $12$ 乘以 $3$ 。

$V = π (\frac{36 - 4 \cdot 5}{15})$

解题步骤 10.2.3.30.2

将 $- 4$ 乘以 $5$ 。

$V = π (\frac{36 - 20}{15})$

解题步骤 10.2.3.30.3

从 $36$ 中减去 $20$ 。

$V = π (\frac{16}{15})$

解题步骤 10.2.3.31

组合 $π$ 和 $\frac{16}{15}$ 。

$V = \frac{π \cdot 16}{15}$

解题步骤 10.2.3.32

将 $16$ 移到 $π$ 的左侧。

$V = \frac{16 π}{15}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$V = \frac{16 π}{15}$

小数形式：

$V = 3.35103216 \dots$

解题步骤 12

微积分学 示例

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