微积分学示例

$y = x^{\frac{5}{4}}$ , $y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1

用替代法求解从而求曲线的交点。

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解题步骤 1.1

消去每个方程两边相等的部分并合并。

$x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{5}{4}} = 3 x^{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

通过对两个指数乘以最小公倍数消去分数指数。

${(x^{\frac{5}{4}})}^{4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

解题步骤 1.2.2

将 ${(x^{\frac{5}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

解题步骤 1.2.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{5}{4} \cdot 4} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

解题步骤 1.2.2.2.2

重写表达式。

$x^{5} = {(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

解题步骤 1.2.3

化简 ${(3 x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

对 $3 x^{\frac{1}{4}}$ 运用乘积法则。

$x^{5} = 3^{4} {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

解题步骤 1.2.3.2

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$x^{5} = 81 {(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$

解题步骤 1.2.3.3

将 ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

解题步骤 1.2.3.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.3.2.1

约去公因数。

$x^{5} = 81 x^{\frac{1}{4} \cdot 4}$

解题步骤 1.2.3.3.2.2

重写表达式。

$x^{5} = 81 x^{1}$

解题步骤 1.2.3.4

化简。

$x^{5} = 81 x$

解题步骤 1.2.4

从等式两边同时减去 $81 x$ 。

$x^{5} - 81 x = 0$

解题步骤 1.2.5

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.5.1

从 $x^{5} - 81 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

解题步骤 1.2.5.1.2

从 $- 81 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

解题步骤 1.2.5.1.3

从 $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - 81) = 0$

解题步骤 1.2.5.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

解题步骤 1.2.5.3

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.5.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 9$ 。

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

解题步骤 1.2.5.5

因数。

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解题步骤 1.2.5.5.1

化简。

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解题步骤 1.2.5.5.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

解题步骤 1.2.5.5.1.2

因数。

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解题步骤 1.2.5.5.1.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

解题步骤 1.2.5.5.1.2.2

去掉多余的括号。

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

解题步骤 1.2.5.5.2

去掉多余的括号。

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 1.2.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0 + y = 3 x^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.2.7

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.8

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.8.1

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 1.2.8.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 9 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.8.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 1.2.8.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 1.2.8.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 9}$ 。

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解题步骤 1.2.8.2.3.1

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 1.2.8.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 1.2.8.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 1.2.8.2.3.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 1.2.8.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 1.2.8.2.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 1.2.8.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.8.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 1.2.8.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 1.2.8.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 1.2.9

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.9.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 1.2.10

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.10.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 1.2.10.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 1.2.11

最终解为使 $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

解题步骤 1.3

当 $x = 0$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.3.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.3.2

将 $0$ 代入 $y = 3 {(0)}^{\frac{1}{4}}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉圆括号。

$y = 3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $3 \cdot 0^{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 1.3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{4}$ 。

$y = 3 \cdot {(0^{4})}^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.3.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.3.2.2.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.2.1

约去公因数。

$y = 3 \cdot 0^{4 (\frac{1}{4})}$

解题步骤 1.3.2.2.2.2

重写表达式。

$y = 3 \cdot 0^{1}$

解题步骤 1.3.2.2.3

计算指数。

$y = 3 \cdot 0$

解题步骤 1.3.2.2.4

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 1.4

当 $x = 3 i$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.4.1

代入 $3 i$ 替换 $x$ 。

$y = 3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.4.2

化简 $3 {(3 i)}^{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1

对 $3 i$ 运用乘积法则。

$y = 3 (3^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 1.4.2.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1

移动 $3^{\frac{1}{4}}$ 。

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3 i^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $3^{\frac{1}{4}}$ 乘以 $3$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 3^{1} i^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = 3^{\frac{1}{4} + 1} i^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.4.2.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = 3^{\frac{1}{4} + \frac{4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$y = 3^{\frac{1 + 4}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.4.2.2.5

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.5

当 $x = - 3 i$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.5.1

代入 $- 3 i$ 替换 $x$ 。

$y = 3 {(- 3 i)}^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.5.2

对 $- 3 i$ 运用乘积法则。

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.6

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.7

当 $x = 3$ 时计算 $y$ 。

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解题步骤 1.7.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.7.2

将 $3$ 代入 $y = 3 {(3)}^{\frac{1}{4}}$ 以替换 $x$ ，然后求解 $y$ 。

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解题步骤 1.7.2.1

去掉圆括号。

$y = 3 \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.7.2.2

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 1.7.2.2.1

将 $3$ 乘以 $3^{\frac{1}{4}}$ 。

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解题步骤 1.7.2.2.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 1.7.2.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = 3^{1 + \frac{1}{4}}$

解题步骤 1.7.2.2.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$y = 3^{\frac{4}{4} + \frac{1}{4}}$

解题步骤 1.7.2.2.3

在公分母上合并分子。

$y = 3^{\frac{4 + 1}{4}}$

解题步骤 1.7.2.2.4

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$y = 3^{\frac{5}{4}}$

解题步骤 1.8

列出所有解。

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

$y = 0, x = 0$

$y = 3^{\frac{5}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}} i^{\frac{1}{4}}, x = - 3 i$

$y = 3 {(- 3)}^{\frac{1}{4}}, x = - 3$

$y = 3^{\frac{5}{4}}, x = 3$

解题步骤 2

给定曲线之间的面积无界。

无界区域

解题步骤 3

微积分学 示例

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