微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{| x |}$

解题步骤 1

考虑左极限。

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sin (x)}{| x |}$

解题步骤 2

制作一个表格展示函数 $\frac{\sin (x)}{| x |}$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{\sin (x)}{| x |} \\ - 0.1 & - 0.99833416 \\ - 0.01 & - 0.99998333 \\ - 0.001 & - 0.99999983 \end{array}$

解题步骤 3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $- 1$ 。因此， $\frac{\sin (x)}{| x |}$ 在 $x$ 从左边趋于 $0$ 时的极限为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 4

考虑右极限。

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\sin (x)}{| x |}$

解题步骤 5

制作一个表格展示函数 $\frac{\sin (x)}{| x |}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的趋势。

$\begin{array}{c} x & \frac{\sin (x)}{| x |} \\ 0.1 & 0.99833416 \\ 0.01 & 0.99998333 \\ 0.001 & 0.99999983 \end{array}$

解题步骤 6

当 $x$ 趋于 $0$ 时，函数值趋于 $1$ 。因此， $\frac{\sin (x)}{| x |}$ 在 $x$ 从右边趋于 $0$ 时的极限为 $1$ 。

$1$

解题步骤 7

因为左极限和右极限不相等，所以极限不存在。

$不存在$

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