微积分学示例

$lim_{x \to 5} \frac{x^{3} - 125}{x - 5}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{3} - 125}{lim_{x \to 5} x - 5}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.1.1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 5} x^{3} - lim_{x \to 5} 125}{lim_{x \to 5} x - 5}$

解题步骤 1.1.2.1.2

使用极限幂法则把 $x^{3}$ 的指数 $3$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{3} - lim_{x \to 5} 125}{lim_{x \to 5} x - 5}$

解题步骤 1.1.2.1.3

计算 $125$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{3} - 1 \cdot 125}{lim_{x \to 5} x - 5}$

解题步骤 1.1.2.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{5^{3} - 1 \cdot 125}{lim_{x \to 5} x - 5}$

解题步骤 1.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.3.1.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{125 - 1 \cdot 125}{lim_{x \to 5} x - 5}$

解题步骤 1.1.2.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $125$ 。

$\frac{125 - 125}{lim_{x \to 5} x - 5}$

解题步骤 1.1.2.3.2

从 $125$ 中减去 $125$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 5}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.1.1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

解题步骤 1.1.3.1.2

计算 $5$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

解题步骤 1.1.3.2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

解题步骤 1.1.3.3

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.3.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$\frac{0}{5 - 5}$

解题步骤 1.1.3.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 5} \frac{x^{3} - 125}{x - 5} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 125]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 125]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{3} - 125$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125]$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 125]}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

解题步骤 1.3.4

因为 $- 125$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 125$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{3 x^{2} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

解题步骤 1.3.5

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 5} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x - 5]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{3 x^{2}}{1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to 5} \frac{3 x^{2}}{1 + 0}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to 5} \frac{3 x^{2}}{1}$

解题步骤 1.4

用 $3 x^{2}$ 除以 $1$ 。

$lim_{x \to 5} 3 x^{2}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$3 lim_{x \to 5} x^{2}$

解题步骤 2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$3 {(lim_{x \to 5} x)}^{2}$

解题步骤 3

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$3 \cdot 5^{2}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$3 \cdot 25$

解题步骤 4.2

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$75$

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