微积分学示例

$lim_{t \to 0} \frac{5}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{5}{t}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $- \frac{5}{t}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{5}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{5}{t} \cdot \frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$

解题步骤 1.2

将 $\frac{5}{t}$ 乘以 $\frac{\sqrt{1 + t}}{\sqrt{1 + t}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{5}{t \sqrt{1 + t}} - \frac{5 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 1.3

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2

运用洛必达法则。

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解题步骤 2.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 2.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{t \to 0} 5 - 5 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 2.1.2.1

计算极限值。

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解题步骤 2.1.2.1.1

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{t \to 0} 5 - lim_{t \to 0} 5 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2.1.2

计算 $5$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 - lim_{t \to 0} 5 \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2.1.3

因为项 $5$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{5 - 5 lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2.1.4

将极限移入根号内。

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2.1.5

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2.1.6

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + 0}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2.3

化简答案。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{5 - 5 \sqrt{1}}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2.3.1.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$\frac{5 - 5}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.2.3.2

从 $5$ 中减去 $5$ 。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 2.1.3.1

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot lim_{t \to 0} \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.1.3.2

将极限移入根号内。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + t}}$

解题步骤 2.1.3.3

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t}}$

解题步骤 2.1.3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{lim_{t \to 0} t \cdot \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}$

解题步骤 2.1.3.5

将 $0$ 代入所有出现 $t$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 2.1.3.5.1

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + lim_{t \to 0} t}}$

解题步骤 2.1.3.5.2

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + 0}}$

解题步骤 2.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 2.1.3.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1}}$

解题步骤 2.1.3.6.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

解题步骤 2.1.3.6.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.6.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 2.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{t \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + t}}{t \sqrt{1 + t}} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [5 - 5 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 2.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [5 - 5 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $5 - 5 \sqrt{1 + t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 5 \sqrt{1 + t}]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [- 5 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.3

因为 $5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $5$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- 5 \sqrt{1 + t}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4

计算 $\frac{d}{d t} [- 5 \sqrt{1 + t}]$ 。

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解题步骤 2.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + t}$ 重写成 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [- 5 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.2

因为 $- 5$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 5 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = 1 + t$ 。

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解题步骤 2.3.4.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + t$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.3.3

使用 $1 + t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t])}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.4

根据加法法则， $1 + t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.5

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.9

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.10

化简分子。

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解题步骤 2.3.4.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.11

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.12

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.13

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.14

将 $\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 \frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - 5 \frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.16

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{- 5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.4.17

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to 0} \frac{0 - \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.5

从 $0$ 中减去 $\frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t \sqrt{1 + t}]}$

解题步骤 2.3.6

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 + t}$ 重写成 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d t} [t {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}]}$

解题步骤 2.3.7

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t$ 且 $g (t) = {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t \frac{d}{d t} [{(1 + t)}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.8

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = 1 + t$ 。

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解题步骤 2.3.8.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 + t$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.8.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.8.3

使用 $1 + t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.9

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.10

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.11

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.12

化简分子。

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解题步骤 2.3.12.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.12.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.13

将负号移到分数的前面。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2} {(1 + t)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.14

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{{(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 + t)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{t (\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.16

组合 $\frac{1}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $t$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [1 + t] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.17

根据加法法则， $1 + t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.18

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [t]) + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.19

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [t]$ 相加。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t] + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.20

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.21

将 $\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]}$

解题步骤 2.3.22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

解题步骤 2.3.23

将 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2.3.24

要将 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.25

组合 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 和 $\frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.26

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.27

通过指数相加将 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.27.1

移动 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} {(1 + t)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.27.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.27.3

在公分母上合并分子。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.27.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.27.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + {(1 + t)}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.28

化简 ${(1 + t)}^{1} \cdot 2$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + (1 + t) \cdot 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.29

将 $2$ 移到 $1 + t$ 的左侧。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 \cdot (1 + t)}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.30

化简。

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解题步骤 2.3.30.1

运用分配律。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 \cdot 1 + 2 t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.30.2

化简分子。

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解题步骤 2.3.30.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{t + 2 + 2 t}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.3.30.2.2

将 $t$ 和 $2 t$ 相加。

$lim_{t \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 t + 2}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}}$

解题步骤 2.4

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{t \to 0} - \frac{5}{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{3 t + 2}$

解题步骤 2.5

将分数指数转换为根式。

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解题步骤 2.5.1

将 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{1 + t}$ 。

$lim_{t \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{2 {(1 + t)}^{\frac{1}{2}}}{3 t + 2}$

解题步骤 2.5.2

将 ${(1 + t)}^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{1 + t}$ 。

$lim_{t \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + t}} \cdot \frac{2 \sqrt{1 + t}}{3 t + 2}$

解题步骤 2.6

合并因数。

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解题步骤 2.6.1

将 $\frac{2 \sqrt{1 + t}}{3 t + 2}$ 乘以 $\frac{5}{2 \sqrt{1 + t}}$ 。

$lim_{t \to 0} - \frac{2 \sqrt{1 + t} \cdot 5}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

解题步骤 2.6.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$lim_{t \to 0} - \frac{10 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

解题步骤 2.7

简化。

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解题步骤 2.7.1

约去 $10$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.1.1

从 $10 \sqrt{1 + t}$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + t})}{(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})}$

解题步骤 2.7.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.7.1.2.1

从 $(3 t + 2) (2 \sqrt{1 + t})$ 中分解出因数 $2$ 。

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + t})}{2 ((3 t + 2) (\sqrt{1 + t}))}$

解题步骤 2.7.1.2.2

约去公因数。

$lim_{t \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + t})}{2 ((3 t + 2) (\sqrt{1 + t}))}$

解题步骤 2.7.1.2.3

重写表达式。

$lim_{t \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) (\sqrt{1 + t})}$

解题步骤 2.7.2

约去 $\sqrt{1 + t}$ 的公因数。

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解题步骤 2.7.2.1

约去公因数。

$lim_{t \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + t}}{(3 t + 2) \sqrt{1 + t}}$

解题步骤 2.7.2.2

重写表达式。

$lim_{t \to 0} - \frac{5}{3 t + 2}$

解题步骤 3

计算极限值。

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解题步骤 3.1

因为项 $- 1$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- lim_{t \to 0} \frac{5}{3 t + 2}$

解题步骤 3.2

因为项 $5$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 5 lim_{t \to 0} \frac{1}{3 t + 2}$

解题步骤 3.3

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$- 5 \frac{lim_{t \to 0} 1}{lim_{t \to 0} 3 t + 2}$

解题步骤 3.4

计算 $1$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{lim_{t \to 0} 3 t + 2}$

解题步骤 3.5

当 $t$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$- 5 \frac{1}{lim_{t \to 0} 3 t + lim_{t \to 0} 2}$

解题步骤 3.6

因为项 $3$ 对于 $t$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$- 5 \frac{1}{3 lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 2}$

解题步骤 3.7

计算 $2$ 的极限值，当 $t$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$- 5 \frac{1}{3 lim_{t \to 0} t + 2}$

解题步骤 4

将 $0$ 代入 $t$ 来计算 $t$ 的极限值。

$- 5 \frac{1}{3 \cdot 0 + 2}$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

化简分母。

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解题步骤 5.1.1

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- 5 \frac{1}{0 + 2}$

解题步骤 5.1.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$- 5 (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 5}{2}$

解题步骤 5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{2}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{5}{2}$

小数形式：

$- 2.5$

微积分学 示例

微积分学示例