微积分学示例

$y = {(2 x + 1)}^{4 x}$

解题步骤 1

在等式两边同时取微分

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{4 x})$

解题步骤 2

$y$ 对 $x$ 的导数为 $y'$ 。

$y'$

解题步骤 3

对方程右边求微分。

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解题步骤 3.1

使用对数的性质化简微分。

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解题步骤 3.1.1

将 ${(2 x + 1)}^{4 x}$ 重写为 $e^{\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})}$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})}]$

解题步骤 3.1.2

通过将 $4 x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(2 x + 1)}^{4 x})$ 。

$\frac{d}{d x} [e^{4 x \ln (2 x + 1)}]$

解题步骤 3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = 4 x \ln (2 x + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $4 x \ln (2 x + 1)$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

解题步骤 3.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ 等于 $a^{u_{1}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

解题步骤 3.2.3

使用 $4 x \ln (2 x + 1)$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} \frac{d}{d x} [4 x \ln (2 x + 1)]$

解题步骤 3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x \ln (2 x + 1)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)]$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (2 x + 1)])$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (2 x + 1)$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (2 x + 1)] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = 2 x + 1$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x + 1$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.5.2

$\ln (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\frac{1}{u_{2}}$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.5.3

使用 $2 x + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (x (\frac{1}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6

求微分。

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解题步骤 3.6.1

组合 $\frac{1}{2 x + 1}$ 和 $x$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6.2

根据加法法则， $2 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} (2 + 0) + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6.7

合并分数。

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解题步骤 3.6.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x}{2 x + 1} \cdot 2 + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6.7.2

组合 $\frac{x}{2 x + 1}$ 和 $2$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{x \cdot 2}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6.7.3

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 \cdot x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x]))$

解题步骤 3.6.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1) \cdot 1))$

解题步骤 3.6.9

将 $\ln (2 x + 1)$ 乘以 $1$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \ln (2 x + 1)))$

解题步骤 3.7

要将 $\ln (2 x + 1)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (\frac{2 x}{2 x + 1} + \frac{\ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}))$

解题步骤 3.8

在公分母上合并分子。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 \frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1})$

解题步骤 3.9

组合 $4$ 和 $\frac{2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)}{2 x + 1}$ 。

$e^{4 x \ln (2 x + 1)} \frac{4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.10

组合 $e^{4 x \ln (2 x + 1)}$ 和 $\frac{4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1))}{2 x + 1}$ 。

$\frac{e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (2 x + \ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11

化简。

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解题步骤 3.11.1

运用分配律。

$\frac{e^{4 x \ln (2 x + 1)} (4 (2 x) + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2

化简分子。

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解题步骤 3.11.2.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (2 x + 1)$ 。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (4 (2 x) + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.11.2.2.1

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2.2

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln (2 x + 1) (2 x) + \ln (2 x + 1) \cdot 1))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1) \cdot 1))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2.4

将 $\ln (2 x + 1)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (2 \ln (2 x + 1) x + \ln (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2.5

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (2 x + 1)$ 。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + \ln (2 x + 1)))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2.6

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x) + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2.7

乘以 $4 (\ln ({(2 x + 1)}^{2}) x)$ 。

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解题步骤 3.11.2.2.7.1

将 $\ln ({(2 x + 1)}^{2})$ 和 $4$ 重新排序。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + 4 \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2}) x + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2.7.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \cdot \ln ({(2 x + 1)}^{2})$ 。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{4}) x + 4 \ln (2 x + 1))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2.8

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (2 x + 1)$ 。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({({(2 x + 1)}^{2})}^{4}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2.9

将 ${({(2 x + 1)}^{2})}^{4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.11.2.2.9.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({(2 x + 1)}^{2 \cdot 4}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.2.9.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x + \ln ({(2 x + 1)}^{8}) x + \ln ({(2 x + 1)}^{4}))}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.3

运用分配律。

$\frac{e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (8 x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.2.5

将 $8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} (\ln ({(2 x + 1)}^{8}) x) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})$ 中的因式重新排序。

$\frac{8 x e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} + x e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

解题步骤 3.11.3

重新排序项。

$\frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

解题步骤 4

通过设置方程左边等于右边来进行方程变形。

$y' = \frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

解题步骤 5

使用 $\frac{d y}{d x}$ 替换 $y'$ 。

$\frac{d y}{d x} = \frac{8 e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} x \ln ({(2 x + 1)}^{8}) + e^{x \ln ({(2 x + 1)}^{4})} \ln ({(2 x + 1)}^{4})}{2 x + 1}$

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