微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 6$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 6 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 6 d x$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 6 d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 2 x d x + \int 6 d x$

解题步骤 6

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 \int x d x + \int 6 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 6 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 6 x + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 6 x + C$

解题步骤 9.2

化简。

$\frac{x^{3}}{6} - x^{2} + 6 x + C$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$\frac{1}{6} x^{3} - x^{2} + 6 x + C$

解题步骤 10

答案是函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 6$ 的不定积分。

$F (x) =$ $\frac{1}{6} x^{3} - x^{2} + 6 x + C$

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