微积分学示例

$| x |$

解题步骤 1

将 $| x |$ 书写为一个函数。

$f (x) = | x |$

解题步骤 2

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 3

建立要求解的定积分。

$F (x) = \int | x | d x$

解题步骤 4

将绝对值中的自变量设为等于 $0$ ，以求潜在的用以分割解的区间的数值。

$x = 0$

解题步骤 5

化简答案。

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解题步骤 5.1

在解周围创建区间，从而求 $x$ 为正和负的位置。

$(- \infty, 0), (0, \infty)$

解题步骤 5.2

将每个区间中的一个值代入 $x$ 以得出表达式何处为正，何处为负。

$\begin{array}{c} 区间 & 区间上的符号 \\ (- \infty, 0) & - \\ (0, \infty) & + \end{array}$

解题步骤 5.3

求绝对值函数自变量的积分。

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解题步骤 5.3.1

用带绝对值的自变量建立积分。

$\int x d x$

解题步骤 5.3.2

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C$

解题步骤 5.4

在自变量为负的区间，将积分的解与 $- 1$ 相乘。

${\begin{cases} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

解题步骤 5.5

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

${\begin{cases} - (\frac{x^{2}}{2} + C) & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} + C & x > 0 \end{cases}$

解题步骤 5.6

化简。

${\begin{cases} - \frac{x^{2}}{2} & x \leq 0 \\ \frac{x^{2}}{2} & x > 0 \end{cases} + C$

解题步骤 5.7

化简。

${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$

解题步骤 6

答案是函数 $f (x) = | x |$ 的不定积分。

$F (x) =$ ${\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} & x \leq 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} & x > 0 \end{cases} + C$

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