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微积分学 示例
解题步骤 1
解题步骤 1.1
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 1.1.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.1.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 1.2
求微分。
解题步骤 1.2.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 1.2.3
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 1.2.4
化简表达式。
解题步骤 1.2.4.1
将 和 相加。
解题步骤 1.2.4.2
将 乘以 。
解题步骤 1.2.4.3
重新排序 的因式。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.2
使用乘积法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.3
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 2.3.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 2.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.3.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 2.4
求微分。
解题步骤 2.4.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.4.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.4.3
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 2.4.4
化简表达式。
解题步骤 2.4.4.1
将 和 相加。
解题步骤 2.4.4.2
将 乘以 。
解题步骤 2.5
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.6
对 进行 次方运算。
解题步骤 2.7
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.8
将 和 相加。
解题步骤 2.9
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.10
将 乘以 。
解题步骤 2.11
化简。
解题步骤 2.11.1
运用分配律。
解题步骤 2.11.2
运用分配律。
解题步骤 2.11.3
运用分配律。
解题步骤 2.11.4
合并项。
解题步骤 2.11.4.1
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 2.11.4.1.1
移动 。
解题步骤 2.11.4.1.2
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.11.4.1.3
将 和 相加。
解题步骤 2.11.4.2
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.11.4.3
将 乘以 。
解题步骤 2.11.4.4
将 乘以 。
解题步骤 2.11.4.5
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.11.4.6
将 乘以 。
解题步骤 2.11.5
化简每一项。
解题步骤 2.11.5.1
将 重写为 。
解题步骤 2.11.5.2
使用 FOIL 方法展开 。
解题步骤 2.11.5.2.1
运用分配律。
解题步骤 2.11.5.2.2
运用分配律。
解题步骤 2.11.5.2.3
运用分配律。
解题步骤 2.11.5.3
化简并合并同类项。
解题步骤 2.11.5.3.1
化简每一项。
解题步骤 2.11.5.3.1.1
通过指数相加将 乘以 。
解题步骤 2.11.5.3.1.1.1
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 2.11.5.3.1.1.2
将 和 相加。
解题步骤 2.11.5.3.1.2
将 移到 的左侧。
解题步骤 2.11.5.3.1.3
将 重写为 。
解题步骤 2.11.5.3.1.4
将 重写为 。
解题步骤 2.11.5.3.1.5
将 乘以 。
解题步骤 2.11.5.3.2
从 中减去 。
解题步骤 2.11.5.4
运用分配律。
解题步骤 2.11.5.5
化简。
解题步骤 2.11.5.5.1
将 乘以 。
解题步骤 2.11.5.5.2
将 乘以 。
解题步骤 2.11.6
将 和 相加。
解题步骤 2.11.7
从 中减去 。
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
解题步骤 4.1
求一阶导数。
解题步骤 4.1.1
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 且 。
解题步骤 4.1.1.1
要使用链式法则,请将 设为 。
解题步骤 4.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.1.3
使用 替换所有出现的 。
解题步骤 4.1.2
求微分。
解题步骤 4.1.2.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 4.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 4.1.2.3
因为 对于 是常数,所以 对 的导数为 。
解题步骤 4.1.2.4
化简表达式。
解题步骤 4.1.2.4.1
将 和 相加。
解题步骤 4.1.2.4.2
将 乘以 。
解题步骤 4.1.2.4.3
重新排序 的因式。
解题步骤 4.2
对 的一阶导数是 。
解题步骤 5
解题步骤 5.1
将一阶导数设为等于 。
解题步骤 5.2
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于 。
解题步骤 5.3
将 设为等于 。
解题步骤 5.4
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 5.4.1
将 设为等于 。
解题步骤 5.4.2
求解 的 。
解题步骤 5.4.2.1
对方程左边进行因式分解。
解题步骤 5.4.2.1.1
将 重写为 。
解题步骤 5.4.2.1.2
因为两项都是完全平方数,所以使用平方差公式 进行因式分解,其中 和 。
解题步骤 5.4.2.1.3
对 运用乘积法则。
解题步骤 5.4.2.2
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于 。
解题步骤 5.4.2.3
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 5.4.2.3.1
将 设为等于 。
解题步骤 5.4.2.3.2
求解 的 。
解题步骤 5.4.2.3.2.1
将 设为等于 。
解题步骤 5.4.2.3.2.2
从等式两边同时减去 。
解题步骤 5.4.2.4
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 5.4.2.4.1
将 设为等于 。
解题步骤 5.4.2.4.2
求解 的 。
解题步骤 5.4.2.4.2.1
将 设为等于 。
解题步骤 5.4.2.4.2.2
在等式两边都加上 。
解题步骤 5.4.2.5
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 5.5
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 7
要计算的驻点。
解题步骤 8
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 9
解题步骤 9.1
化简每一项。
解题步骤 9.1.1
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 9.1.2
将 乘以 。
解题步骤 9.1.3
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 9.1.4
将 乘以 。
解题步骤 9.2
通过加上各数进行化简。
解题步骤 9.2.1
将 和 相加。
解题步骤 9.2.2
将 和 相加。
解题步骤 10
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 11
解题步骤 11.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 11.2
化简结果。
解题步骤 11.2.1
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 11.2.2
从 中减去 。
解题步骤 11.2.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 11.2.4
最终答案为 。
解题步骤 12
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 13
解题步骤 13.1
化简每一项。
解题步骤 13.1.1
对 进行 次方运算。
解题步骤 13.1.2
将 乘以 。
解题步骤 13.1.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 13.1.4
将 乘以 。
解题步骤 13.2
通过相加和相减进行化简。
解题步骤 13.2.1
从 中减去 。
解题步骤 13.2.2
将 和 相加。
解题步骤 14
解题步骤 14.1
根据使一阶导数为 或无意义的 值,将 分割为不同的区间。
解题步骤 14.2
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
解题步骤 14.2.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 14.2.2
化简结果。
解题步骤 14.2.2.1
将 乘以 。
解题步骤 14.2.2.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 14.2.2.3
从 中减去 。
解题步骤 14.2.2.4
对 进行 次方运算。
解题步骤 14.2.2.5
将 乘以 。
解题步骤 14.2.2.6
最终答案为 。
解题步骤 14.3
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
解题步骤 14.3.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 14.3.2
化简结果。
解题步骤 14.3.2.1
将 乘以 。
解题步骤 14.3.2.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 14.3.2.3
从 中减去 。
解题步骤 14.3.2.4
对 进行 次方运算。
解题步骤 14.3.2.5
将 乘以 。
解题步骤 14.3.2.6
最终答案为 。
解题步骤 14.4
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
解题步骤 14.4.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 14.4.2
化简结果。
解题步骤 14.4.2.1
将 乘以 。
解题步骤 14.4.2.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 14.4.2.3
从 中减去 。
解题步骤 14.4.2.4
对 进行 次方运算。
解题步骤 14.4.2.5
将 乘以 。
解题步骤 14.4.2.6
最终答案为 。
解题步骤 14.5
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
解题步骤 14.5.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 14.5.2
化简结果。
解题步骤 14.5.2.1
将 乘以 。
解题步骤 14.5.2.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 14.5.2.3
从 中减去 。
解题步骤 14.5.2.4
对 进行 次方运算。
解题步骤 14.5.2.5
将 乘以 。
解题步骤 14.5.2.6
最终答案为 。
解题步骤 14.6
由于一阶导数在 周围没有改变符号,因此这不是极大值或极小值。
不存在极大值或极小值
解题步骤 14.7
由于一阶导数在 周围从负号变为正号,因此 是极小值。
是一个极小值
解题步骤 14.8
由于一阶导数在 周围没有改变符号,因此这不是极大值或极小值。
不存在极大值或极小值
解题步骤 14.9
这些是 的局部极值。
是一个极小值
是一个极小值
解题步骤 15