微积分学示例

$f (x) = \ln (x^{4} + 27)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{4} + 27$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} + 27$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

解题步骤 1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{4} + 27$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{4} + 27} \frac{d}{d x} [x^{4} + 27]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{4} + 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [27])$

解题步骤 1.2.3

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 1.2.4

合并分数。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{x^{4} + 27} (4 x^{3})$

解题步骤 1.2.4.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{4} + 27}$ 。

$\frac{4}{x^{4} + 27} x^{3}$

解题步骤 1.2.4.3

组合 $\frac{4}{x^{4} + 27}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 27}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 27})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{4} + 27$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 27) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.3.2

将 $3$ 移到 $x^{4} + 27$ 的左侧。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 27) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.3.3

根据加法法则， $x^{4} + 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.3.5

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.3.6

化简表达式。

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解题步骤 2.3.6.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.3.6.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.4

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.4.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.4.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}})$

解题步骤 2.5

组合 $4$ 和 $\frac{3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 27) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (27 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6.4

化简分子。

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解题步骤 2.6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.4.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.4.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6.4.1.1.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6.4.1.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (27 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6.4.1.3

将 $3$ 乘以 $27$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (81 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6.4.1.4

将 $81$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6.4.1.5

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 324 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 2.6.4.2

从 $12 x^{6}$ 中减去 $16 x^{6}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 324 x^{2}}{{(x^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{4} + 27$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} + 27$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

解题步骤 4.1.1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $x^{4} + 27$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 27)$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $x^{4} + 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [27]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (27))$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (27))$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3} + 0)$

解题步骤 4.1.2.4

合并分数。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 27} \cdot (4 x^{3})$

解题步骤 4.1.2.4.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{x^{4} + 27}$ 。

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 27} \cdot x^{3}$

解题步骤 4.1.2.4.3

组合 $\frac{4}{x^{4} + 27}$ 和 $x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$4 x^{3} = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

将 $4 x^{3} = 0$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1.1

将 $4 x^{3} = 0$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.1.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.3.1.2.1.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$x^{3} = \frac{0}{4}$

解题步骤 5.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $4$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 5.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 5.3.3

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 5.3.3.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{- 4 {(0)}^{6} + 324 {(0)}^{2}}{{({(0)}^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{- 4 \cdot 0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.1.2

将 $- 4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 324 \cdot 0^{2}}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0 + 324 \cdot 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.1.4

将 $324$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.1.5

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{0}{{(0^{4} + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{{(0 + 27)}^{2}}$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $27$ 相加。

$\frac{0}{27^{2}}$

解题步骤 9.2.3

对 $27$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{729}$

解题步骤 9.3

用 $0$ 除以 $729$ 。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{4 {(- 2)}^{3}}{{(- 2)}^{4} + 27}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{{(- 2)}^{4} + 27}$

解题步骤 10.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{16 + 27}$

解题步骤 10.2.2.2.2

将 $16$ 和 $27$ 相加。

$f' (- 2) = \frac{4 \cdot - 8}{43}$

解题步骤 10.2.2.3

化简表达式。

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解题步骤 10.2.2.3.1

将 $4$ 乘以 $- 8$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 32}{43}$

解题步骤 10.2.2.3.2

将负号移到分数的前面。

$f' (- 2) = - \frac{32}{43}$

解题步骤 10.2.2.4

最终答案为 $- \frac{32}{43}$ 。

$- \frac{32}{43}$

解题步骤 10.3

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 27}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = \frac{4 {(2)}^{3}}{{(2)}^{4} + 27}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简分子。

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解题步骤 10.3.2.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$f' (2) = \frac{2^{2} \cdot 2^{3}}{2^{4} + 27}$

解题步骤 10.3.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (2) = \frac{2^{2 + 3}}{2^{4} + 27}$

解题步骤 10.3.2.1.3

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$f' (2) = \frac{2^{5}}{2^{4} + 27}$

解题步骤 10.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 10.3.2.2.1

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$f' (2) = \frac{2^{5}}{16 + 27}$

解题步骤 10.3.2.2.2

将 $16$ 和 $27$ 相加。

$f' (2) = \frac{2^{5}}{43}$

解题步骤 10.3.2.3

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f' (2) = \frac{32}{43}$

解题步骤 10.3.2.4

最终答案为 $\frac{32}{43}$ 。

$\frac{32}{43}$

解题步骤 10.4

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

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