微积分学示例

$f (x) = \cos (π x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $π x$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 1.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 1.1.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (π x) \frac{d}{d x} [π x]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (π x) (π \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (π x) (π \cdot 1)$

解题步骤 1.2.3

化简表达式。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (π x) π$

解题步骤 1.2.3.2

重新排序 $- \sin (π x) π$ 的因式。

$- π \sin (π x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- π \sin (π x)$ 对 $x$ 的导数是 $- π \frac{d}{d x} [\sin (π x)]$ 。

$f'' (x) = - π \frac{d}{d x} \sin (π x)$

解题步骤 2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = π x$ 。

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解题步骤 2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $π x$ 。

$f'' (x) = - π (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (π x))$

解题步骤 2.2.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = - π (\cos (u) \frac{d}{d x} (π x))$

解题步骤 2.2.3

使用 $π x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - π (\cos (π x) \frac{d}{d x} (π x))$

解题步骤 2.3

因为 $π$ 对于 $x$ 是常数，所以 $π x$ 对 $x$ 的导数是 $π \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - π \cos (π x) (π \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.5

对 $π$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - π π \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - π^{1 + 1} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x) \cdot 1$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - π^{2} \cos (π x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- π \sin (π x) = 0$

解题步骤 4

将 $- π \sin (π x) = 0$ 中的每一项除以 $- π$ 并化简。

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解题步骤 4.1

将 $- π \sin (π x) = 0$ 中的每一项都除以 $- π$ 。

$\frac{- π \sin (π x)}{- π} = \frac{0}{- π}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

解题步骤 4.2.2

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{π \sin (π x)}{π} = \frac{0}{- π}$

解题步骤 4.2.2.2

用 $\sin (π x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (π x) = \frac{0}{- π}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

用 $0$ 除以 $- π$ 。

$\sin (π x) = 0$

解题步骤 5

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$π x = \arcsin (0)$

解题步骤 6

化简右边。

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解题步骤 6.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$π x = 0$

解题步骤 7

将 $π x = 0$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $π x = 0$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{0}{π}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{π}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

用 $0$ 除以 $π$ 。

$x = 0$

解题步骤 8

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$π x = π - 0$

解题步骤 9

求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$π x = π + 0$

解题步骤 9.1.2

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$π x = π$

解题步骤 9.2

将 $π x = π$ 中的每一项除以 $π$ 并化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $π x = π$ 中的每一项都除以 $π$ 。

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

解题步骤 9.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.2.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{π x}{π} = \frac{π}{π}$

解题步骤 9.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{π}{π}$

解题步骤 9.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.2.3.1

约去 $π$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1.1

约去公因数。

$x = \frac{π}{π}$

解题步骤 9.2.3.1.2

重写表达式。

$x = 1$

解题步骤 10

方程 $π x = 0$ 的解。

$x = 0, 1$

解题步骤 11

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- π^{2} \cos (π (0))$

解题步骤 12

计算二阶导数。

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解题步骤 12.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$- π^{2} \cos (0)$

解题步骤 12.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- π^{2} \cdot 1$

解题步骤 12.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- π^{2}$

解题步骤 13

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 14

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 14.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \cos (π (0))$

解题步骤 14.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \cos (0)$

解题步骤 14.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (0) = 1$

解题步骤 14.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 15

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- π^{2} \cos (π (1))$

解题步骤 16

计算二阶导数。

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解题步骤 16.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$- π^{2} \cos (π)$

解题步骤 16.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- π^{2} (- \cos (0))$

解题步骤 16.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- π^{2} (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 16.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- π^{2} \cdot - 1$

解题步骤 16.5

乘以 $- π^{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 16.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 π^{2}$

解题步骤 16.5.2

将 $π^{2}$ 乘以 $1$ 。

$π^{2}$

解题步骤 17

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 18

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 18.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \cos (π (1))$

解题步骤 18.2

化简结果。

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解题步骤 18.2.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \cos (π)$

解题步骤 18.2.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$f (1) = - \cos (0)$

解题步骤 18.2.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f (1) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 18.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = - 1$

解题步骤 18.2.5

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 19

这些是 $f (x) = \cos (π x)$ 的局部极值。

$(0, 1)$ 是一个局部最大值

$(1, - 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 20

微积分学 示例

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