微积分学 示例

求出局部极大值与局部极小值 f(x)=x+2cos(x)
解题步骤 1
求函数的一阶导数。
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解题步骤 1.1
求微分。
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解题步骤 1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2
计算
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解题步骤 1.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 1.2.2
的导数为
解题步骤 1.2.3
乘以
解题步骤 2
求函数的二阶导数。
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解题步骤 2.1
求微分。
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解题步骤 2.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.1.2
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 2.2
计算
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解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2.2
的导数为
解题步骤 2.3
中减去
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
从等式两边同时减去
解题步骤 5
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 5.1
中的每一项都除以
解题步骤 5.2
化简左边。
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解题步骤 5.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 5.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 5.2.1.2
除以
解题步骤 5.3
化简右边。
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解题步骤 5.3.1
将两个负数相除得到一个正数。
解题步骤 6
取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的
解题步骤 7
化简右边。
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解题步骤 7.1
的准确值为
解题步骤 8
正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解,可从 减去参考角以求第二象限中的解。
解题步骤 9
化简
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解题步骤 9.1
要将 写成带有公分母的分数,请乘以
解题步骤 9.2
合并分数。
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解题步骤 9.2.1
组合
解题步骤 9.2.2
在公分母上合并分子。
解题步骤 9.3
化简分子。
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解题步骤 9.3.1
移到 的左侧。
解题步骤 9.3.2
中减去
解题步骤 10
方程 的解。
解题步骤 11
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 12
计算二阶导数。
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解题步骤 12.1
的准确值为
解题步骤 12.2
约去 的公因数。
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解题步骤 12.2.1
中分解出因数
解题步骤 12.2.2
约去公因数。
解题步骤 12.2.3
重写表达式。
解题步骤 12.3
重写为
解题步骤 13
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 14
时的 y 值。
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解题步骤 14.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 14.2
化简结果。
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解题步骤 14.2.1
化简每一项。
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解题步骤 14.2.1.1
的准确值为
解题步骤 14.2.1.2
约去 的公因数。
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解题步骤 14.2.1.2.1
约去公因数。
解题步骤 14.2.1.2.2
重写表达式。
解题步骤 14.2.2
最终答案为
解题步骤 15
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 16
计算二阶导数。
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解题步骤 16.1
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为余弦在第二象限为负。
解题步骤 16.2
的准确值为
解题步骤 16.3
约去 的公因数。
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解题步骤 16.3.1
中前置负号移到分子中。
解题步骤 16.3.2
中分解出因数
解题步骤 16.3.3
约去公因数。
解题步骤 16.3.4
重写表达式。
解题步骤 16.4
乘。
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解题步骤 16.4.1
乘以
解题步骤 16.4.2
乘以
解题步骤 17
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 18
时的 y 值。
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解题步骤 18.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 18.2
化简结果。
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解题步骤 18.2.1
化简每一项。
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解题步骤 18.2.1.1
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为余弦在第二象限为负。
解题步骤 18.2.1.2
的准确值为
解题步骤 18.2.1.3
约去 的公因数。
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解题步骤 18.2.1.3.1
中前置负号移到分子中。
解题步骤 18.2.1.3.2
约去公因数。
解题步骤 18.2.1.3.3
重写表达式。
解题步骤 18.2.2
最终答案为
解题步骤 19
这些是 的局部极值。
是一个局部最大值
是一个局部最小值
解题步骤 20