微积分学示例

$y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

解题步骤 1

将 $y = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} - 5$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 5] - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $2$ 移到 $x - 3$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.5

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.7

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8

化简表达式。

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解题步骤 2.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4

化简分子。

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解题步骤 2.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.3.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.4.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 2.3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $- 6$ 。

$- 5, - 1$

解题步骤 2.3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x - 5) (x - 1)$ 且 $g (x) = {(x - 3)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{({(x - 3)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 3.2

将 ${({(x - 3)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 3.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} \frac{d}{d x} ((x - 5) (x - 1)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.3

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 5$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4

求微分。

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解题步骤 3.4.1

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.4

化简表达式。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} ((x - 5) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.4.2

将 $x - 5$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 5)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.5

根据加法法则， $x - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 5))) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.7

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.4.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.8.2

将 $x - 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (x - 5 + x - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 5 - 1) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.4.8.4

从 $- 5$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} {(x - 3)}^{2}}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 3$ 。

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解题步骤 3.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 3$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.5.3

使用 $x - 3$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - (x - 5) (x - 1) (2 (x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.6

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.6.2

从 ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

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解题步骤 3.6.2.1

从 ${(x - 3)}^{2} (2 x - 6)$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) - 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.6.2.2

从 $- 2 (x - 5) (x - 1) ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 3])$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.6.2.3

从 $(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6)) + (x - 3) (- 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 3]))$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{{(x - 3)}^{4}}$

解题步骤 3.7

约去公因数。

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解题步骤 3.7.1

从 ${(x - 3)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 3$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.7.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) ((x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3)))}{(x - 3) {(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.7.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x - 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.8

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.10

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.11

化简表达式。

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解题步骤 3.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.11.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) - 2 (x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12

化简。

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解题步骤 3.12.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(x - 3) (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2

化简分子。

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解题步骤 3.12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.12.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (2 x - 6)$ 。

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解题步骤 3.12.2.1.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (2 x - 6) - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.1.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x - 6) + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{x (2 x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.12.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.12.2.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{2 x \cdot x + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.2.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.12.2.1.2.1.2.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.2.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} + x \cdot - 6 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.2.1.3

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 \cdot x - 3 (2 x) - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x - 3 \cdot - 6 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.2.1.5

将 $- 3$ 乘以 $- 6$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - 6 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.2.2

从 $- 6 x$ 中减去 $6 x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x - 2 \cdot - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 5$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 + (- 2 x + 10) (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.4

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x + 10) (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.12.2.1.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x (x - 1) + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.4.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 (x - 1)}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.4.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.5

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.12.2.1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 3.12.2.1.5.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.12.2.1.5.1.1.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.5.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.5.1.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x + 10 \cdot - 1}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.5.1.3

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 2 x + 10 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.1.5.2

将 $2 x$ 和 $10 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.2

合并 $2 x^{2} - 12 x + 18 - 2 x^{2} + 12 x - 10$ 中相反的项。

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解题步骤 3.12.2.2.1

从 $2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 0 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.2.2

将 $- 12 x + 18$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 12 x + 18 + 12 x - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.2.3

将 $- 12 x$ 和 $12 x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{0 + 18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.2.4

将 $0$ 和 $18$ 相加。

$f'' (x) = \frac{18 - 10}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 3.12.2.3

从 $18$ 中减去 $10$ 。

$f'' (x) = \frac{8}{{(x - 3)}^{3}}$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 5) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

求微分。

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解题步骤 5.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 5)) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.3

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 5.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.4.2

将 $2$ 移到 $x - 3$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) x) - (x^{2} - 5) \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.5

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.7

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.8

化简表达式。

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解题步骤 5.1.2.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3

化简。

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解题步骤 5.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - (x^{2} - 5)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.1.3.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.1.3.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.1.3.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 \cdot (- 3 x) - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.4.1.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.4.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.1.3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x + 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1.3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $5$ ，和为 $- 6$ 。

$- 5, - 1$

解题步骤 5.1.3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ 。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

解题步骤 6.2

将分子设为等于零。

$(x - 5) (x - 1) = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 6.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 6.3.2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 6.3.3

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.3.3.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 6.3.4

最终解为使 $(x - 5) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.2.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 7.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 5, 1$

解题步骤 9

计算在 $x = 5$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8}{{((5) - 3)}^{3}}$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

化简分母。

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解题步骤 10.1.1

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\frac{8}{2^{3}}$

解题步骤 10.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8}{8}$

解题步骤 10.2

用 $8$ 除以 $8$ 。

$1$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 5$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 5$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 5$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $5$ 替换变量 $x$ 。

$f (5) = \frac{{(5)}^{2} - 5}{(5) - 3}$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简分子。

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解题步骤 12.2.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (5) = \frac{25 - 5}{5 - 3}$

解题步骤 12.2.1.2

从 $25$ 中减去 $5$ 。

$f (5) = \frac{20}{5 - 3}$

解题步骤 12.2.2

化简表达式。

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解题步骤 12.2.2.1

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$f (5) = \frac{20}{2}$

解题步骤 12.2.2.2

用 $20$ 除以 $2$ 。

$f (5) = 10$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $10$ 。

$y = 10$

解题步骤 13

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8}{{((1) - 3)}^{3}}$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

化简分母。

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解题步骤 14.1.1

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

解题步骤 14.1.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{8}{- 8}$

解题步骤 14.2

用 $8$ 除以 $- 8$ 。

$- 1$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{{(1)}^{2} - 5}{(1) - 3}$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简分子。

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解题步骤 16.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1 - 5}{1 - 3}$

解题步骤 16.2.1.2

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$f (1) = \frac{- 4}{1 - 3}$

解题步骤 16.2.2

化简表达式。

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解题步骤 16.2.2.1

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f (1) = \frac{- 4}{- 2}$

解题步骤 16.2.2.2

用 $- 4$ 除以 $- 2$ 。

$f (1) = 2$

解题步骤 16.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = \frac{x^{2} - 5}{x - 3}$ 的局部极值。

$(5, 10)$ 是一个局部最小值

$(1, 2)$ 是一个局部最大值

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例