微积分学示例

$f (x) = x^{2} - 4 x + 7$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - 4 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$2 x - 4$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 4)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x - 4 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 7$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$2 x - 4 + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 x - 4 + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 2 x - 4$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - 4$ 。

$2 x - 4$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - 4 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - 4 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$2 x = 4$

解题步骤 5.3

将 $2 x = 4$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $2 x = 4$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{4}{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{2}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $4$ 除以 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 10

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 7$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (2) = 4 - 4 \cdot 2 + 7$

解题步骤 10.2.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 4 - 8 + 7$

解题步骤 10.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 10.2.2.1

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$f (2) = - 4 + 7$

解题步骤 10.2.2.2

将 $- 4$ 和 $7$ 相加。

$f (2) = 3$

解题步骤 10.2.3

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 11

这些是 $f (x) = x^{2} - 4 x + 7$ 的局部极值。

$(2, 3)$ 是一个局部最小值

解题步骤 12

微积分学 示例

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