微积分学示例

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 1.3.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2.2.3

约去公因数。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2.2.4

重写表达式。

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x + \ln (x) (2 x)$

解题步骤 1.3.4

重新排序项。

$2 x \ln (x) + x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 x \ln (x) + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.5

组合 $x$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.6

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

约去公因数。

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.6.2

重写表达式。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.7

将 $\ln (x)$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

解题步骤 2.4.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$2 x \ln (x) + x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

组合 $x^{2}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.2

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.3.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.1.3.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.2.2.3

约去公因数。

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.2.2.4

重写表达式。

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.2.2.5

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x + \ln (x) (2 x)$

解题步骤 4.1.3.4

重新排序项。

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x \ln (x) + x$ 。

$2 x \ln (x) + x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x \ln (x) + x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x \ln (x) + x = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$2 x \ln (x) = - x$

解题步骤 5.3

将 $2 x \ln (x) = - x$ 中的每一项除以 $2 x$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $2 x \ln (x) = - x$ 中的每一项都除以 $2 x$ 。

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.1

约去公因数。

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

解题步骤 5.3.3.1.2

重写表达式。

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 5.3.3.2

将负号移到分数的前面。

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 5.4

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.5

使用对数的定义将 $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

解题步骤 5.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将方程重写为 $x = e^{- \frac{1}{2}}$ 。

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

解题步骤 5.6.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 6.2

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) + 3$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$2 \ln (e^{- \frac{1}{2}}) + 3$

解题步骤 9.1.2

通过将 $- \frac{1}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ 。

$2 (- \frac{1}{2} \ln (e)) + 3$

解题步骤 9.1.3

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$2 (- \frac{1}{2} \cdot 1) + 3$

解题步骤 9.1.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (- \frac{1}{2}) + 3$

解题步骤 9.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.5.1

将 $- \frac{1}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

解题步骤 9.1.5.2

约去公因数。

$2 (\frac{- 1}{2}) + 3$

解题步骤 9.1.5.3

重写表达式。

$- 1 + 3$

解题步骤 9.2

将 $- 1$ 和 $3$ 相加。

$2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简表达式。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 11.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 11.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.2.1

将 ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 11.2.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.1.2.1

约去公因数。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 11.2.2.1.2.2

重写表达式。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 11.2.2.2

化简。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

解题步骤 11.2.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $e^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 11.2.4

通过将 $- \frac{1}{2}$ 移到对数外来展开 $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot \ln (e))$

解题步骤 11.2.5

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

解题步骤 11.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{2})$

解题步骤 11.2.7

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{e \cdot 2}$

解题步骤 11.2.8

将 $2$ 移到 $e$ 的左侧。

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}) = - \frac{1}{2 e}$

解题步骤 11.2.9

最终答案为 $- \frac{1}{2 e}$ 。

$y = - \frac{1}{2 e}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x^{2} \ln (x)$ 的局部极值。

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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