微积分学示例

$a^{9} + \cos^{9} (x)$

解题步骤 1

求微分。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $a^{9} + \cos^{9} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a^{9}] + \frac{d}{d x} [\cos^{9} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [a^{9}] + \frac{d}{d x} [\cos^{9} (x)]$

解题步骤 1.2

因为 $a^{9}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a^{9}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d x} [\cos^{9} (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [\cos^{9} (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{9}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$0 + \frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 9$ 。

$0 + 9 u^{8} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.1.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 + 9 \cos^{8} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$0 + 9 \cos^{8} (x) (- \sin (x))$

解题步骤 2.3

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$0 - 9 \cos^{8} (x) \sin (x)$

解题步骤 3

从 $0$ 中减去 $9 \cos^{8} (x) \sin (x)$ 。

$- 9 \cos^{8} (x) \sin (x)$

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