微积分学示例

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x} + x^{2}}{5 x - x^{2}}$

解题步骤 1

用分子和分母除以分母中 $x$ 的最高次幂，即 $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.1.2

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{5 x}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

解题步骤 2.2

化简项。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 2.2.2

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{1}}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 2.2.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x^{4}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 2.2.2.3

约去公因数。

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解题步骤 2.2.2.3.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 2.2.2.3.2

约去公因数。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 2.2.2.3.3

重写表达式。

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{\frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 2.3

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 2.5

将极限移入根号内。

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 3

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x^{3}}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{0} + lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - 1}$

解题步骤 4.2

当 $x$ 趋于 $\infty$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{x \to \infty} \frac{5}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 4.3

因为项 $5$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 5

由于它的分子接近实数，而分母是无穷大，所以分数 $\frac{1}{x}$ 趋于 $0$ 。

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}$

解题步骤 6

计算极限值。

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解题步骤 6.1

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $\infty$ 时此极限值为常数。

$\frac{\sqrt{0} + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 6.2

化简答案。

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解题步骤 6.2.1

化简分子。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{0 + 1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2

化简分母。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $5$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 6.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{0 - 1}$

解题步骤 6.2.2.3

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{- 1}$

解题步骤 6.2.3

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$- 1$

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