微积分学示例

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 3 x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.2

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.4

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.6

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.7

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.7.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.7.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.7.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 + 3 \cdot - 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.7.1.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 - 3 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.7.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 1 + 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.7.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} - 2 x - 3}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

解题步骤 1.1.3.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 3}$

解题步骤 1.1.3.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 3}$

解题步骤 1.1.3.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.5

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.5.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.5.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.6

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.6.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{1 - 2 \cdot - 1 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.6.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{0}{1 + 2 - 1 \cdot 3}$

解题步骤 1.1.3.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{0}{1 + 2 - 3}$

解题步骤 1.1.3.6.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{0}{3 - 3}$

解题步骤 1.1.3.6.3

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.6.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.7

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} - 2 x - 3} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 3 x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $2 x^{2} + 3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3.3.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 + \frac{d}{d x} [1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3.6

将 $4 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 3]}$

解题步骤 1.3.7

根据加法法则， $x^{2} - 2 x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.9

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.9.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.9.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

解题步骤 1.3.10

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2 + 0}$

解题步骤 1.3.11

将 $2 x - 2$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 3}{2 x - 2}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 1} 4 x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

解题步骤 2.3

因为项 $4$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

解题步骤 2.4

计算 $3$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - 2}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $- 1$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{lim_{x \to - 1} 2 x - lim_{x \to - 1} 2}$

解题步骤 2.6

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - lim_{x \to - 1} 2}$

解题步骤 2.7

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 1$ 时此极限值为常数。

$\frac{4 lim_{x \to - 1} x + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 3

将 $- 1$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \cdot - 1 + 3}{2 lim_{x \to - 1} x - 1 \cdot 2}$

解题步骤 3.2

将 $- 1$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{4 \cdot - 1 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4 + 3}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- 1}{2 \cdot - 1 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 1}{- 2 - 2}$

解题步骤 4.2.3

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 4.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$\frac{1}{4}$

小数形式：

$0.25$

微积分学 示例

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