微积分学示例

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} - \frac{1}{2}}{x}$

解题步骤 1

合并项。

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解题步骤 1.1

要将 $\frac{1}{2 + x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}{x}$

解题步骤 1.2

要将 $- \frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2 + x}{2 + x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 + x} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

解题步骤 1.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(2 + x) \cdot 2$ 的形式。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{2 + x}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2 + x}{2 + x}}{x}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{2 + x}{2 + x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{(2 + x) \cdot 2} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

解题步骤 1.3.3

重新排序 $(2 + x) \cdot 2$ 的因式。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2}{2 (2 + x)} - \frac{2 + x}{2 (2 + x)}}{x}$

解题步骤 1.4

在公分母上合并分子。

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}}{x}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

化简极限自变量。

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解题步骤 2.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)} \cdot \frac{1}{x}$

解题步骤 2.1.2

将 $\frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x)}$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{2 (2 + x) x}$

解题步骤 2.2

因为项 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x}$

解题步骤 3

运用洛必达法则。

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解题步骤 3.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 3.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 2 - (2 + x)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

解题步骤 3.1.2

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $2 - (2 + x)$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - (2 + 0)}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

解题步骤 3.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 - 2}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

解题步骤 3.1.2.3

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (2 + x) x}$

解题步骤 3.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 3.1.3.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 2 + x \cdot lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.3.2

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.3.3

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.3.4

将 $0$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1.3.4.1

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

解题步骤 3.1.3.4.2

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{(2 + 0) \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.5

化简答案。

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解题步骤 3.1.3.5.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 0}$

解题步骤 3.1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.5.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.3.6

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

解题步骤 3.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to 0} \frac{2 - (2 + x)}{(2 + x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 3.3.1

对分子和分母进行求导。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 - (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $2 - (2 + x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (2 + x)]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [- (2 + x)]$ 。

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解题步骤 3.3.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- (2 + x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [2 + x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [2 + x]}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3.4.2

根据加法法则， $2 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3.4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 1)}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3.4.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3.4.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3.5

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [(2 + x) x]}$

解题步骤 3.3.6

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 2 + x$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

解题步骤 3.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{(2 + x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

解题步骤 3.3.8

将 $2 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [2 + x]}$

解题步骤 3.3.9

根据加法法则， $2 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.10

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x (0 + \frac{d}{d x} [x])}$

解题步骤 3.3.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \frac{d}{d x} [x]}$

解题步骤 3.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x \cdot 1}$

解题步骤 3.3.13

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + x + x}$

解题步骤 3.3.14

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 + 2 x}$

解题步骤 3.3.15

重新排序项。

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- 1}{2 x + 2}$

解题步骤 4

计算极限值。

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解题步骤 4.1

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

解题步骤 4.2

计算 $- 1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 2}$

解题步骤 4.3

当 $x$ 趋于 $0$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 4.4

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

解题步骤 4.5

计算 $2$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $0$ 时此极限值为常数。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 lim_{x \to 0} x + 2}$

解题步骤 5

将 $0$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2 \cdot 0 + 2}$

解题步骤 6

化简答案。

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解题步骤 6.1

化简分母。

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解题步骤 6.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{0 + 2}$

解题步骤 6.1.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

解题步骤 6.3

乘以 $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 7

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{4}$

小数形式：

$- 0.25$

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