微积分学示例

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - 9 x^{2}}} d x$

解题步骤 1

使用指数书写表达式。

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解题步骤 1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - 9 x^{2}}} d x$

解题步骤 1.2

将 $9 x^{2}$ 重写为 ${(3 x)}^{2}$ 。

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - {(3 x)}^{2}}} d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 x$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 x$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x]$

解题步骤 2.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 2.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1$

解题步骤 2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}} d u$

解题步骤 4

$\frac{1}{\sqrt{2^{2} - u^{2}}}$ 对 $u$ 的积分为 $\arcsin (\frac{u}{2})$

$\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$

解题步骤 5

将 $\frac{1}{3} (\arcsin (\frac{u}{2}) + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} u) + C$

解题步骤 6

使用 $3 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{3} \arcsin (\frac{1}{2} \cdot 3 x) + C$

微积分学 示例